§ 4. Ускорение

Скорость частицы может изменяться со временем как по величине, так и по направлению. Физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости по модулю и направлению, называется ускорением частицы.

Рассмотрим движение, при котором все участки траектории частицы лежат в одной плоскости. Пусть вектор задает скорость частицы в момент времени . Через промежуток времени частица оказалась в другой точке траектории и приобрела скорость , отличную от как по модулю, так и по направлению (рис. 4.1).

Средним ускорением неравномерного движения в интервале времени от до называется векторная величина, равная отношению изменения скорости к интервалу времени :

(4.1)

Рис. 4.1

Мгновенным ускорением точки (ускорением в данный момент времени) называется предел среднего ускорения при стремлении промежутка к нулю ( ).

(4.2)

Таким образом, ускорение частицы в момент времени равно производной от вектора скорости по времени. Вектор направлен так же, как и вектор . Зная кинематические уравнения движения частицы (2.5) или (2.6), можно найти зависимость скорости от времени , а затем ускорение в любой момент времени.

С учетом выражений (2.9) и (4.2)

(4.3)

где – проекции вектора скорости на неподвижные координатные оси. Таким образом, проекция ускорения на координатную ось равна первой производной по времени проекции скорости на эту ось.

Модуль ускорения

(4.4)

Если известна траектория частицы, то через любую точку можно провести две оси: , направленную по касательной к траектории в сторону вектора , и ось , направленную по нормали к траектории к центру кривизны траектории в данной точке (т.е. центру окружности, дугой которой является элементарный отрезок траектории частицы, содержащий данную точку) (рис. 4.2). Тогда вектор можно представить в виде суммы двух составляющих и :

(4.5)

где – орты осей и , и – проекции векторов и на эти оси.

Рис. 4.2

Вектор называют тангенциальным или касательным ускорением, вектор – нормальным или центростремительным ускорением.

Можно показать, что тангенциальная составляющая ускорения

(4.6)

т.е. равна первой производной по времени от модуля скорости. Т.о., тангенциальное ускорение характеризует быстроту изменения модуля скорости частицы. При ускоренном движении , проекция положительна, вектор совпадает по направлению со скоростью частицы. При замедленном движении , проекция отрицательна, вектор противоположен по направлению . При равномерном движении тангенциальное ускорение равно нулю.

Нормальная составляющая ускорения

, (4.7)

где – радиус кривизны траектории в данной точке. Нормальное ускорение характеризует быстроту изменения направления скорости частицы. Проекция всегда положительна, вектор всегда направлен к центру кривизны. При прямолинейном движении нормальное ускорение отсутствует.

Таким образом, вектор полного ускорения определяется формулой (4.5), а модуль – соотношением

(4.8)

Пример 4.1. Частица движется в положительном направлении оси так, что ее скорость меняется по закону , где – положительная постоянная. Имея в виду, что в момент она находится в точке , найти зависимость от времени ускорения частицы.

Решение. По определению

Так как по условию задачи ускорение и элементарное приращение скорости направлены по оси , можно написать, что модуль ускорения

(4.9)

Найдем зависимость модуля скорости частицы от времени .

Поскольку движение частицы происходит вдоль оси , то учитывая закон изменения ее скорости

, (4.10)

разделяем переменные

(4.11)

Проинтегрировав выражение (4.11), найдем зависимость координаты частицы от времени :

(4.12)

Подставив выражение (4.12) в соотношение (4.10), получаем

(4.13)

Подставляя выражение (4.13) в соотношение (4.9), получаем окончательно

откуда видно, что ускорение частицы не зависит от времени.

Ответ:

Вопросы:

1. Дать определения векторов средней скорости и среднего ускорения, мгновенной скорости и мгновенного ускорения. Каковы направления этих векторов?

2. Что характеризует тангенциальное ускорение? Каков его модуль?

3. Что характеризует нормальное ускорение? Каковы его направление и модуль?

4. При каком движении отсутствует нормальное ускорение? тангенциальное?

Лекция 3. Кинематика вращательного движения твердого тела