1.4. Определение коэффициентов веса параметров

При решении задач многоцелевой оптимизации часто при­ходится сравнивать альтернативные варианты по степени их предпочтительности, или, как говорят, осуществлять ранжи­рование альтернатив. Здесь находит применение экспертное оценивание [22—25].

В первоначальном варианте задача расстановки приори­тетов известна как «задача о лидере» [26], в которой рассматривается проблема определения результатов некоторого спортивного турнира. Тот порядок определения победителя (лидера) и распределения мест среди других участников тур­нира, который принят в настоящее время и суть которого в простом суммировании очков каждого игрока или команды, не всегда может быть признан безупречным. В данном слу­чае место игрока в турнирной таблице определяет сумма оч­ков, полученная без учета силы соперников, у которых выиг­рал данный игрок.

Рассмотрим иной подход к решению «задачи о лидере» [22],

Представим результаты турнира п игроков в виде неко­торого ориентированного графа. Каждому из n участников соответствует вершина графа. Если игрок выиграл у игрока , то на графе имеется дуга . Ничейному исходу соответствуют дуги ij и ji. Пример такого графа представлен на рис. 10.

Рис. 10. Граф результата состяза­ний

Метод решения задачи заключается в следующем. Стро­ится матрица

При этом

где

- означает выигрыш i-го игрока у j-ог;

— проигрыш i-го игрока j-му;

— ничейный исход.

Вводится понятие итерированной «силы» порядка k игро­ка . Итерированная «сила» первого порядка игрока обозначается и находится как сумма очков данного игрока. При этом не учитывается «сила» соперников:

Распределение очков среди игроков задается вектором

.

На второй итерации за «силу» игрока принимается итерированная сила первого порядка.

Итерированная «сила» второго порядка рассчитывается, с учетом «сил» соперников:

В конечном счете она представляется вектором

.

Дальнейшие итерации производятся аналогично:

,

Процесс расчета заключается в последовательном приме­нении преобразования, задаваемого матрицей А, к началь­ному вектору Р(0).

Обозначим через нормированную итерированную силу k-го порядку i-го игрока: ,

очевидно, .

В общем виде процесс расчета нормированной итериро­ванной «силы» игроков можно охарактеризовать следующими соотношением:

,

где — сумма компонент вектора .

Если матрица А неразложима, то рассмотренная процедура, согласно теореме Перрона—Фробениуса {26], при­водит в пределе к максимальному собственному числу матрицы А с соответствующим собственным век­тором

Следовательно, процесс вычисления нормированной ите­рированной «силы» игроков сходится.

В отличие от простого подсчета очков описанная процедура позволяет учесть косвенные преимущества игроков.

Рассмотрим пример расчета нормированной итерирован­ной «силы» пяти игроков. Результат турнира представлен следующей системой сравнений:

Принимая, что

составляем квадратную матрицу смежности, приведенную в табл. 9.

Расчет по 1-й итерации показан в табл. 9.

Таблица 9

Квадратная матрица смежности

j i
	1 0 0 1 0	2 1 0 0 0	2 2 1 2 2	1 2 0 1 0	2 2 0 2 1	8 7 1 6 3	0.32 0.28 0.04 0.24 0.12	36 27 1 22 5	0.395 0.297 0.011 0.242 0.055
							1.00	91	1,000

Расчет по 2-й итерации:

и т.д.

С каждой последующей итерацией значения уточняются.

На первый взгляд, трудно установить сходство задач, возникающих, и решаемых в игровой турнирной ситуации, и задач экспертного оценивания. Однако при ближайшем рассмотрении можно обнаружить аналогию и, следовательно, использовать рассмотренный метод в области принятия решений. при многоцелевой оптимизации.

В процессе оценивания альтернативные варианты конку­рируют между собой, и результат оценивания эксперт может представить в форме результата «турнира» этих вариан­тов, то есть в виде системы парных сравнении, как это было показано выше.

Рассмотренный метод получения экспертных оценок [22] назван методом расстановки приоритетов.

Важным элементом при исследовании любого процесса является назначе­ние коэффициентов веса каждого оптимизируемого параметра. Распространенный метод — определение коэффициентов веса с помощью экспертов, который представляет собой, по суще­ству, обычное обсуждение, с той лишь разницей, что свое мне­ние эксперты выражают не словами, а цифрами.

Для определения влияния коэффициентов веса на результат решения задачи можно решать ее при различных значениях этих коэффициентов.

Методы экс­пертных оценок широко распространены в спорте, например, в фигурном катании, гимнастике. Нет основания считать непри­емлемым коллективное мнение специалистов и при принятии (оптимальных) решений. Предложено достаточно много методов определения эксперт­ных оценок. Рассмотрим три из них.