4. Принцип Кастильяно

Принцип Кастильяно можно рассматривать как энергетическую трактовку метода напряжений. В литературе он часто встречается также под названием начало варьирования напряженного состояния.

4.1. Статически возможное варьирование. Статически возможные напряжения. Как того требует метод напряжений, примем за основные неизвестные компоненты тензора напряжений. Под статическим варьированием будем понимать изменение напряжений, при котором сохраняются неизменными все кинематические характеристики процесса деформирования (перемещения, деформации) и заданные статические величины — внешние силы. Если в процессе такого изменения напряжений остаются справедливыми соотношения статики (уравнения локального равновесия и статические граничные условия), то такое варьирование напряжений назовем статически возможным.

Напряжения, не противоречащие соотношениям статики, называются статически возможными. Теперь можно сказать, что статически возможное варьирование осуществимо лишь в классе статически возможных напряжений.

Введем еще понятие истинных (или действительных) напряжений. Так мы будем называть напряжения, фактически возникающие в теле от заданных внешних воздействий. Очевидно, что истинные напряжения, являясь решением задачи теории упругости, обязаны удовлетворять всем ее соотношениям. Следовательно, они являются и статически возможными.

Поскольку статически возможные напряжения удовлетворяют лишь уравнениям статики (от них не требуется выполнение условий сплошности), то они образуют множество, в котором, в частности, содержатся и истинные напряжения.

В силу теоремы единственности истинные напряжения единственны и вместе с истинными перемещениями и деформациями образуют — единственное истинное напряженно-деформированное состояние, отвечающее заданным внешним статическим и кинематическим воздействиям.

Пусть — истинные, а — близкие к ним статически возможные напряжения. Так как

то малые статически возможные напряжения обязаны удовлетворять соотношениям

	(4.1)
	(4.2)

Величины часто называют статически возможными вариациями напряжений.

4.2. Принцип Кастильяно. Дополнительная потенциальная энергия тела является функционалом, определенным на множестве напряжений формулой

Здесь — удельная дополнительная потенциальная энергия, представляющая собой для обратимых процессов деформирования однозначную функцию своих аргументов.

Неизвестные реактивные силы в связях , возникающие на поверхности и связанные с напряжениями формулами

совершают работу

Назовем полной дополнительной энергией тела функционал

Принцип Кастильяно гласит:

Из всех статически возможных напряжений только истинные

напряжения доставляют полной дополнительной энергии

линейно упругого тела минимальное значение.

Аналитически это утверждение можно выразить так

В случае линейно упругого тела представляет собой положительно определенную квадратичную форму напряжений:

Поэтому и в силу линейности работы реактивных сил в связях относительно напряжений

Таким образом, достаточное условие минимума полной энергии предопределено линейной упругостью материала и для линейно упругих тел выполняется всегда. Можно показать, что сказанное справедливо и для нелинейно упругих тел и опять же выражает способность упругих тел при деформировании аккумулировать энергию.

Можно показать, что из принципа Кастильяно вытекают соотношения Коши, следствием которых являются уравнения совместности деформаций. Поэтому геометрические соотношения теории упругости эквивалентны принципу Кастильяно и могут быть заменены последним.

Смысл сказанного хорошо иллюстрирует приводимая ниже таблица возможных вариантов теории упругости.

Классическая теория упругости	Варианты теории упругости
	по Лагранжу	по Кастильяно
Геометрические соотношения	Геометрические соотношения	Принцип Кастильяно
Статические соотношения	Принцип Лагранжа	Статические соотношения
Физические соотношения	Физические соотношения	Физические соотношения

Принцип Кастильяно в общей формулировке находит практическое применение сравнительно редко. Чаще всего приходится обращаться к рассматриваемым ниже двум его следствиям.

4.3. Начало наименьшей работы. Предположим, что геометрические связи, наложенные на тело, идеальные в том смысле, что работа реактивных сил в них всегда равна нулю ( ). В таком случае и принцип Кастильяно вырождается в так называемое начало наименьшей работы

Словесно это формулируется так:

Если на упруго деформируемое тело наложены идеальные связи,

то из всех статически возможных напряжений лишь истинные напряжения доставляют дополнительной потенциальной энергии тела минимальное значение.

В случае линейно упругого тела начало наименьшей работы выглядит следующим образом

и здесь, как видно, нет необходимости вводить понятие дополнительной потенциальной энергии, так как она фактически совпадает с обычной потенциальной энергией тела, выраженной через напряжения.

4.4. Теорема Кастильяно. Пусть — некоторое обобщенное смещение в теле, обусловленное действующими на него внешними силами. В качестве могут выступать смещение точки в фиксированном направлении, взаимное смещение двух точек, например, вдоль соединяющей их линии и т. п. Как подсчитать подобное смещение? Ответ на этот вопрос дает теорема Кастильяно.

Ради простоты рассуждений будем считать, что — искомое смещение некоторой внутренней или граничной точки тела в каком-то фиксированном направлении. Первое, что предстоит сделать, так это выяснить то, каким образом ввести интересующее нас смещение в функционал полной дополнительной энергии тела, из экстремальности которого мы намереваемся получить формулу для его вычисления. Единственную такую возможность предоставляет работа реактивных сил в связях, конечно, при условии, что в рассматриваемой точке имеется связь в направлении искомого смещения. Чаще всего ее может и не быть. Однако, ничто не мешает сначала ввести такую связь фиктивно, а затем в окончательных результатах ее убрать.

Итак, предположим, что в рассматриваемой точке тела в направлении искомого смещения имеется фиктивная связь, со стороны которой на тело действует сила , направленная так же, как и искомое смещение. Заметим, что эта связь необычная: она не противодействует, а способствует искомому перемещению. Не станем задумываться, как она устроена. Для наших рассуждений это не имеет никакого значения, ибо потом мы эту связь устраним.

Пусть нам как-то удалось найти напряженное состояние, вызванное совместным действием заданных сил и силы . Для тела с фиктивной связью это состояние истинное. Погрузим его в класс напряженных состояний, порождаемых лишь малыми изменениями силы , обусловленными, скажем, какой-то перенастройкой фиктивной связи (детали этого процесса несущественны). Заметим, что новые напряженные состояния статически возможны: изменения силы (реакции фиктивной связи) не нарушают уравнений (4.1), (4.2).

Условие стационарности полной дополнительной энергии тела с фиктивной связью запишется теперь так

Здесь — первая вариация полной дополнительной энергии самого тела (без фиктивной связи, но с учетом действия ее реакции), обусловленная малым изменением силы . Эта энергия — функция только фиктивной силы : . Чтобы подчеркнуть это, мы пометили ее сверху тильдой. Следовательно,

Величина , в отличие от интересующего нас смещения , обусловлена еще и действием силы : при . Учитывая, что , из двух последних равенств находим

В этом и состоит теорема Кастильяно, которую уже для общего случая можно сформулировать так:

Для того чтобы найти некоторое обобщенное смещение точки или системы точек тела, необходимо подобрать и приложить дополнительно к телу соответствующую этому смещению обобщенную силу, подсчитать полную дополнительную энергию тела и найти значение ее производной по обобщенной силе при нулевом значении последней.

Направление перемещения определяется знаком результата: положительный знак говорит о том, что смещение происходит в направлении выбранной обобщенной силы. Ради этого правила была введена столь необычная фиктивная связь.

В тех случаях, когда роль обобщенной силы может играть одна из заданных внешних сил, обозначим ее тем же символом ,

В условиях начала наименьшей работы имеем соответственно

Наконец, следует иметь в виду, что в случае линейно упругого тела , .

4.5. Пример. Для балки, показанной на рис. 4.1, найти прогиб и угол поворота свободного конца.

З аданная сила вызывает в балке изгибающий момент . Ее можно принять за обобщенную силу, отвечающую прогибу . Поскольку и

то согласно теореме Кастильяно

Обобщенная сила для угла — момент на конце балки. Тогда

Так как , а , то свободный конец смещается по направлению силы , а сечение на свободном конце поворачивается в направлении, противоположном указанному моментом .