Вариационные принципы и методы

Решение всякой задачи теории упругости и строительной механики включает в себя два этапа.

Первый этап — постановка задачи. На этой стадии с помощью общих статических, геометрических и физических соотношений теории упругости формулируется конкретная математическая задача. А именно, если необходимо, то вводятся дополнительные гипотезы, выбирается метод исследования (скажем, метод перемещений, метод напряжений или какой-либо смешанный метод) и, наконец, ставится краевая задача, т.е. выводятся разрешающие уравнения относительно основных искомых величин и формулируются в них соответствующие краевые условия.

Второй этап — это, по существу, решение поставленной краевой задачи. Его можно считать чисто математической проблемой и реализовывать, не задумываясь о механическом смысле искомого решения. К механическому осмысливанию результатов следует обращаться, как правило, после решения краевой задачи, хотя нельзя отрицать его полезность и при построении самого решения.

Вариационные принципы и методы — мощное средство решения задач теории упругости и строительной механики, как в постановочной их части, так и при построении их решений. Они опираются на понятия работы и энергии, а основным их математическим аппаратом является вариационное исчисление.

Вариационными принципами называют утверждения, постулирующие экстремальные свойства той или иной энергии деформируемого тела. Они позволяют исследователю корректно осуществлять постановочную часть задачи, и в этом, пожалуй, заключается основное значение вариационных принципов. Кроме того, они служат теоретической базой для целого ряда приближенных вариационных методов. Известно несколько вариационных принципов. Среди них следует, прежде всего, назвать изучаемые ниже принципы Лагранжа и Кастильяно.

Вариационные методы предназначены и для построения самого решения задачи. В вариационном исчислении они известны как прямые методы. Следует еще раз подчеркнуть, что вариационные методы базируются на вариационных принципах. Наибольшую известность среди них получили излагаемые ниже методы Ритца-Тимошенко и метод Бубнова-Галеркина.

1. Элементы вариационного исчисления

I.I. Исходные понятия. Вариационное исчисление — раздел математики, занимающийся изучением экстремальных свойств функционалов. Под функционалом понимается числовая переменная, значения которой определяются выбором одной или нескольких функций. Другими словами функционал — это функция одного или нескольких аргументов, которые сами по себе являются функциями. Очевидно, что область определения функционала — множество тех или иных функций, а область его изменения — числовое множество. Простейшим примером функционала (условимся обозначать его здесь буквой с указанием за ней списка аргументов в квадратных скобках) может служить определенный интеграл

Более сложные примеры дают функционалы

	(1.1)
	(1.2)
	(1.3)

(1.4)

Здесь в первом примере приведен простейший функционал Эйлера, определенный на множестве функций одного переменного, непрерывных на отрезке вместе со своими производными первого порядка. Во втором примере мы также имеем функционал, определенный на множестве функций одного переменного, только теперь подынтегральная функция зависит от более высоких производных функции-аргумента. В этом случае естественно считать, что область определения функционала — множество функций, непрерывных вплоть до производных го порядка. В третьем примере мы имеем дело с функционалом, зависящим от аргументов — функций одного аргумента. И, наконец, последний пример иллюстрирует функционалы, определенные на множестве функций двух переменных , изменяющихся в некоторой области . Не представляет труда продолжить эти примеры.

Условимся изменение аргумента функционала называть варьированием, а его малое приращение — вариацией, которую будем обозначать символом . Так если — аргумент функционала, то его вариация — (в отличии от дифференциала той же функции . Нетрудно видеть, что операции варьирования и дифференцирования коммутативны (перестановочны), т.е., например, .

Варьирование аргумента функционала влечет за собой изменение значений самого функционала (варьирование функционала), которое может, вообще говоря, сопровождаться изменением (варьированием) и границы области интегрирования. Однако мы ограничимся рассмотрением лишь, так называемых, функционалов со свободной границей — функционалов, варьирование которых происходит при неизменной области их интегрирования.

Обратимся к рассмотрению основной задачи вариационного исчисления — изучению экстремумов функционалов.

1.2. Необходимое и достаточное условия экстремума функционала. Прежде чем сформулировать эти условия, введем понятия первой и второй вариации функционала. Все рассуждения будем проводить на примере простейшего функционала Эйлера (1.1), ибо подученные для него результаты сравнительно легко обобщаются и на случаи более сложных функционалов.

Пусть и — два близких значения аргумента функционала . Приращение последнего определяется обычной формулой

и может быть представлено в виде

(1.5)

Здесь — первая вариация функционала — однородная величина первой степени относительно вариаций аргумента и его производной , т.е. величин и , или, иначе, линейная относительно и часть приращения ; — вторая вариация функционала — однородная величина второй степени относительно вариаций и соответственно аргумента и его производной или, иначе, квадратичная относительно и часть приращения функционала ; многоточие в (1.5) означает, что далее следует сумма вариаций функционала более высокого порядка. Процедура получения выражений для первой и второй вариаций функционала излагается в следующем пункте. А сейчас заметим, что для функционала первая и вторая вариации играют ту же роль, что и первый и второй дифференциалы для функций.

В вариационном исчислении доказывается, что необходимым условием экстремума функционала является обращение в нуль его первой вариации:

(1.6)

(срав. с условием стационарности функции . Экстремум будет минимумом, если

(1.7)

(срав. с условием (или ) для минимума функции и максимумом, если

(1.8)

(срав. с условием (или ) для максимума функции . Равенство (1.6) — необходимое (мы уже об этом говорили), а отношения (1.7), (1.8) — достаточные условия экстремума функционала.

При раскрытии необходимого условия экстремума (условия стационарности) функционала важную роль играет, так называемая, основная лемма вариационного исчисления:

Пусть функция непрерывна на отрезке и пусть для

каждой непрерывной на функции справедливо равенство

Тогда на том же отрезке с очевидностью .

Эта лемма сохраняет силу и для функций многих переменных.

1.3. Уравнения типа Эйлера и естественные граничные условия. Как убедимся ниже, в задачах линейной теории упругости и строительное механики условие (1.7) обусловлено физически и потому выполняется всегда. Сосредоточим поэтому наше внимание на необходимом условии экстремума функционала (1.6) и покажем, что из него вытекают, так называемые, уравнения типа Эйлера и естественные граничные условия, позволяющие найти такую функцию (значение аргумента функционала), которая доставляет изучаемому функционалу экстремальное значение.

Рассмотрим приращение простейшего функционала Эйлера (I.I) со свободной границей. Оно, очевидно, представимо в виде

(1.9)

Разлагая здесь в ряд Тейлора функцию , найдем

(1.10)

Здесь введены обозначения

Вспоминая определения и , получим

	(1.11)
	(1.12)

С помощью очевидного тождества

(1.13)

формула (1.11) приводится к виду

(1.14)

Если по условию задачи

(1.15)

где — известные числа, то

(1.16)

и необходимое условие (1.6) экстремума функционала (I.I) принимает вид

(1.17)

Отсюда в силу произвольности и основной леммы вариационного исчисления приходим к уравнению

(1.18)

носящему название уравнение Эйлера.

Нетрудно видеть, что, введя такие очевидные обозначения

и учтено, что , уравнение Эйлера (1.18) можно записать и так

(1.19)

Таким образом, уравнение Эйлера простейшего функционала (I.I) имеет второй порядок. Его общее решение будет содержать две постоянные интегрирования, определяемые из условий (1.15), если таковые предписаны заранее. Если же в условии задачи ограничения (1.15) отсутствуют, то для выполнения необходимого условия (1.6) экстремума функционала (I.I) необходимо, помимо (1.18), потребовать

(1.20)

Эти равенства называются естественными граничными условиями. Они служат для нахождения упомянутых констант в тех случаях, в которых не ставятся условия (1.15).

Итак, чтобы найти функцию, доставляющую экстремум исследуемому функционалу (I.I), нужно построить общее решение уравнения Эйлера (1.18) и выделить из определяемого им семейства функций (их часто называют экстремалями) ту функцию, которая удовлетворяет ограничениям (1.15), если они заданы условием задачи, или естественным граничным условиям, если ограничения (1.15) отсутствуют.

Раскроем теперь необходимое условие экстремума другого функционала

(1.21)

Аналогично предыдущему находим

Это выражение с помощью (1.13) и подобного ему тождества

(1.22)

приводится к виду

(1.23)

Отсюда следует, что тогда, когда является решением уравнения Эйлера

и одновременно удовлетворяет условиям

,

(1.25)

если они предписаны условием задачи, или естественным граничным условиям

,

(1.26)

если ограничения (1.25) отсутствуют.

В заключение приведем без вывода уравнения типа Эйлера

	(1.27)
	(1.28)
	(1.29)

вытекающие из условий стационарности функционалов (1.2), (1.3) и (1.4) соответственно.

1.4. О необходимом условии экстремума функционалов при наличии дополнительных условий. Пусть нас интересует экстремум функционала

(1.30)

с граничными условиями

(1.31)

и дополнительными условиями

(1.32)

Можно показать, что в этом случае уравнения типа Эйлера имеют вид

(1.33)

где

(1.34)

— так называемая функция Лагранжа, а ( ) — множители Лагранжа, определяемые так, чтобы выполнялись уравнения Эйлера (1.33) и дополнительные условия (1.32). Все, сказанное здесь, несложно перенести и обобщить на функционалы более сложной структуры.