
- •080100.62 По направлению Экономика
- •Понятие функции двух независимых переменных
- •2. Производные функции двух независимых переменных
- •2.1. Частные производные первого порядка
- •2.2. Частные производные высших порядков
- •3. Полный дифференциал функции двух переменных
- •4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •5. Экстремум функции двух независимых переменных
- •5.1. Необходимое условие экстремума
- •5.2. Достаточные условия экстремума
- •6. Градиент и производная по направлению
- •7. Метод наименьших квадратов
- •8. Первообразная и неопределенный интеграл
- •Свойства интегралов
- •9. Методы интегрирования
- •9.1. Непосредственное интегрирование
- •9.2. Метод замены переменной (подстановки)
- •9.3. Метод интегрирования по частям
- •10. Интегрирование рациональных дробей
- •10.1. Простейшие дроби, их интегрирование к простейшим дробям относятся дроби вида:
- •10.2. Правильные и неправильные рациональные дроби
- •10.3. Разложение правильной дроби
- •10.4. Нахождение коэффициентов
- •10.5. Правило интегрирования рациональных дробей
- •11. Интегрирование некоторых иррациональностей
- •12. Интегрирование тригонометрических выражений
- •13. Определенный и несобственный интегралы, их вычисление
- •14. Геометрические приложения определенного интеграла
- •Из чертежа видно, что
Из чертежа видно, что
4
x пределы
интегрирования
будут и
(рис.
7).
Рис.
7
.
(кв.
ед.).
Пример
62. Вычислить
длину одной арки циклоиды
(рис.
8).
Решение.
Из соотношения
видно, что значение
соответствует
,
соответствует
,
.
Так как уравнение линии
з
адано
в декартовых координатах
(вид в), то используем формулу (2в),
т
абл.:
,
.
t=0
t=
t=2
Рис.
8
.
Пример
63. Вычислить
длину кардиоиды
,
соответствующую
.
Решение. Уравнение кривой задано в полярных координатах, следовательно, при решении воспользуемся формулой (2д). Изменение задано, следовательно, выполнение чертежа необязательно.
(ед.
длины).
Пример
64. Вычислить
объем тела, образованного вращением
вокруг оси
фигуры, ограниченной параболой
и осью
(рис. 9).
Решение.
Парабола
расположена ветвями вниз, вершина
находится в точке
,
и ось
пересекает в точках
.
Для решения воспользуемся формулой
(3а), табл.
(куб.
ед.).
y
1
1
x
Рис. 9
Пример
65. Вычислить
объем тела, образованного вращением
гиперболы
,
отсеченной прямыми
,
вокруг оси
(рис. 10).
Решение. Для решения задачи воспользуемся формулой (3б), табл.
y
;
,
находим из уравнения гиперболы:
-3
3
x
Рис.
10
(куб. ед.).
Замечание: Иногда при решении задач полезно использовать рекуррентную формулу:
Знак
(двойной факториал) означает произведение
целых чисел, начиная с
,
через одно с убыванием. Например,
(только нечетные множители).