Вторая интерполяционная формула Ньютона Теоретические основы

Пусть имеем последовательность значений функции

, 

для равноотстоящих значений аргумента     ,  где   - шаг интерполяции. По­строим полином следующего вида:

,

или, используя обобщённую степень, получаем:

         .         (1)

Тогда, при выполнении равенства  ,  ,  получим

 ,  .

Подставим эти значения в формулу (1). Тогда, окончательно, вторая интерполяцион­ная формула Ньютона имеет вид:

                   .               (2)

      Введём более удобную запись формулы (2). Пусть  , тогда   ,   и т. д. Подставив эти значения в формулу (2), получим:

  .    (3)

Это и есть обычный вид второй интерполяционной формулы Ньютона. Для прибли­жённого вычисления значений функции   полагают:

.

      Как первая, так и вторая интерполяционные формулы Ньютона могут быть исполь­зованы для экстраполирования функции, т. е. для нахождения значений функции   для значений аргументов  , лежащих вне пределов таблицы. Если   и   близко к  , то выгодно применять первую интерполяционную формулу Ньютона, причём тогда    .  Если же   и   близко к  , то удобнее пользоваться второй интер­поляционной формулой Ньютона, причём  . 

Начало

double h; int n=x.Length;

h = x[1] - x[0]; double fakt = 1;

int i = 1

i <= n-1

i++

double member = 1;

int j = 1

j <= i

j++

member *= q + j - 1;

Конец

fakt *= i;

member /= fakt;

double temp = deltaY(i, n-1-i); member *= temp;

P += member;

Блок-схема метода

Результаты решения

№1

q=(0-4)/1=-4P = 85+((-4 + 1 - 1)*(70)/(1) +((-4 + 1 - 1)(-4 + 2 - 1)*(95)/(2) +((-4 + 1 - 1)(-4 + 2 - 1)(-4 + 3 - 1)*(156)/(6) +((-4 + 1 - 1)(-4 + 2 - 1)(-4 + 3 - 1)(-4 + 4 - 1)*(250)/(24) Ответ:1

№2

q=(0-8)/2=-4P = 31,2+((-4 + 1 - 1)*(14,2)/(1) +((-4 + 1 - 1)(-4 + 2 - 1)*(5,2)/(2) +((-4 + 1 - 1)(-4 + 2 - 1)(-4 + 3 - 1)*(1,2)/(6) +((-4 + 1 - 1)(-4 + 2 - 1)(-4 + 3 - 1)(-4 + 4 - 1)*(-8,88178419700125E-16)/(24) Ответ:0,8

№3

q=(0-9)/2=-4,5P = 42,5+((-4,5 + 1 - 1)*(22,5)/(1) +((-4,5 + 1 - 1)(-4,5 + 2 - 1)*(10)/(2) +((-4,5 + 1 - 1)(-4,5 + 2 - 1)(-4,5 + 3 - 1)*(3)/(6) +((-4,5 + 1 - 1)(-4,5 + 2 - 1)(-4,5 + 3 - 1)(-4,5 + 4 - 1)*(0)/(24) Ответ:0,3125

№4

q=(0-10)/2=-5P = 53+((-5 + 1 - 1)*(26,5)/(1) +((-5 + 1 - 1)(-5 + 2 - 1)*(11)/(2) +((-5 + 1 - 1)(-5 + 2 - 1)(-5 + 3 - 1)*(3)/(6) +((-5 + 1 - 1)(-5 + 2 - 1)(-5 + 3 - 1)(-5 + 4 - 1)*(0)/(24) Ответ:0,5

№5

q=(0-7)/2=-3,5P = 53+((-3,5 + 1 - 1)*(31)/(1) +((-3,5 + 1 - 1)(-3,5 + 2 - 1)*(16)/(2) +((-3,5 + 1 - 1)(-3,5 + 2 - 1)(-3,5 + 3 - 1)*(6)/(6) +((-3,5 + 1 - 1)(-3,5 + 2 - 1)(-3,5 + 3 - 1)(-3,5 + 4 - 1)*(0)/(24) Ответ:1,375

№6

q=(0-12)/3=-4P = 106+((-4 + 1 - 1)*(62)/(1) +((-4 + 1 - 1)(-4 + 2 - 1)*(32)/(2) +((-4 + 1 - 1)(-4 + 2 - 1)(-4 + 3 - 1)*(12)/(6) +((-4 + 1 - 1)(-4 + 2 - 1)(-4 + 3 - 1)(-4 + 4 - 1)*(0)/(24) Ответ:2

№7

q=(0--4)/1=4P = 45+((4 + 1 - 1)*(26)/(1) +((4 + 1 - 1)(4 + 2 - 1)*(14)/(2) +((4 + 1 - 1)(4 + 2 - 1)(4 + 3 - 1)*(6)/(6) +((4 + 1 - 1)(4 + 2 - 1)(4 + 3 - 1)(4 + 4 - 1)*(0)/(24) Ответ:409

№8

q=(0-2)/2=-1P = 45,5+((-1 + 1 - 1)*(23)/(1) +((-1 + 1 - 1)(-1 + 2 - 1)*(10)/(2) +((-1 + 1 - 1)(-1 + 2 - 1)(-1 + 3 - 1)*(3)/(6) +((-1 + 1 - 1)(-1 + 2 - 1)(-1 + 3 - 1)(-1 + 4 - 1)*(0)/(24) Ответ:22,5

№9

q=(0-9)/1=-9P = 90+((-9 + 1 - 1)*(52)/(1) +((-9 + 1 - 1)(-9 + 2 - 1)*(28)/(2) +((-9 + 1 - 1)(-9 + 2 - 1)(-9 + 3 - 1)*(12)/(6) +((-9 + 1 - 1)(-9 + 2 - 1)(-9 + 3 - 1)(-9 + 4 - 1)*(0)/(24) Ответ:-378

№10

q=(0-15)/3=-5P = 70+((-5 + 1 - 1)*(50)/(1) +((-5 + 1 - 1)(-5 + 2 - 1)*(40)/(2) +((-5 + 1 - 1)(-5 + 2 - 1)(-5 + 3 - 1)*(42)/(6) +((-5 + 1 - 1)(-5 + 2 - 1)(-5 + 3 - 1)(-5 + 4 - 1)*(60)/(24) Ответ:100