Интерполяционные формулы Руководство пользователя для решения интерполяционных задач

1. Перейти на вкладку «Интерполяционные формулы»

2. Ввести количество узлов интерполяции в соответствующее поле.

3. Ввести значение точки Х, в которой будет искаться значение функции.

4. В выпадающем списке «Выберите метод» выбрать метод решения.

5. Заполнить сгенерированную программой матрицу.

6. Нажать кнопку «Решить».

7. Процесс решения отображается внизу формы.

Программа также предусматривает сохранение исходных данных в файл (кнопка «Сохранить») и загрузку данных из файла (меню «File» - «Загрузить файл»).

Интерполяционная формула Лагранжа Теоретические основы

Происходит поиск полином L_n(x) степени не выше n, значения которого совпадают со значениями y_k заданной функции ƒ(x) в узлах x_k, где k=1,2,...,n+1 и все узлы различны.

Одним из способов записи интерполяционного полинома является форма Лагранжа. Предположим, что для k=1,2,...,n+1функции Ф_n(x) являются полиномами степени n, которые обладают следующим свойством

Тогда полином

будет как раз тем, который нам и нужен, поскольку это полином степени не выше n и L_n(x_k) = y_k для всех k=1,2,...,n+1.

Функции Ф_n(x) строятся легко. Действительно, функция

является полиномом степени n, который обращается в ноль для всех x_j не равных x_k. В точке x_k она принимает значение

Тогда

или, что то же самое:

Итак, интерполяционный полином в форме Лагранжа имеет вид

или в развернутой форме:

Блок-схема метода

Результаты решения

№1

L(x)=1*(*(0-1)*(0-2)*(0-3)*(0-4)) / (*(0-1)*(0-2)*(0-3)*(0-4)) +4*((0-0)*(0-2)*(0-3)*(0-4)) / ((1-0)*(1-2)*(1-3)*(1-4)) +40*((0-0)*(0-1)*(0-3)*(0-4)) / ((2-0)*(2-1)*(2-3)*(2-4)) +15*((0-0)*(0-1)*(0-2)*(0-4)) / ((3-0)*(3-1)*(3-2)*(3-4)) +85*((0-0)*(0-1)*(0-2)*(0-3)) / ((4-0)*(4-1)*(4-2)*(4-3)) Ответ: 1

№2

L(x)=0,8*(*(0-2)*(0-4)*(0-6)*(0-8)) / (*(0-2)*(0-4)*(0-6)*(0-8)) +3*((0-0)*(0-4)*(0-6)*(0-8)) / ((2-0)*(2-4)*(2-6)*(2-8)) +8*((0-0)*(0-2)*(0-6)*(0-8)) / ((4-0)*(4-2)*(4-6)*(4-8)) +17*((0-0)*(0-2)*(0-4)*(0-8)) / ((6-0)*(6-2)*(6-4)*(6-8)) +31,2*((0-0)*(0-2)*(0-4)*(0-6)) / ((8-0)*(8-2)*(8-4)*(8-6)) Ответ: 0,8

№3

L(x)=0,5*(*(0-3)*(0-5)*(0-7)*(0-9)) / (*(1-3)*(1-5)*(1-7)*(1-9)) +2*((0-1)*(0-5)*(0-7)*(0-9)) / ((3-1)*(3-5)*(3-7)*(3-9)) +7,5*((0-1)*(0-3)*(0-7)*(0-9)) / ((5-1)*(5-3)*(5-7)*(5-9)) +20*((0-1)*(0-3)*(0-5)*(0-9)) / ((7-1)*(7-3)*(7-5)*(7-9)) +42,5*((0-1)*(0-3)*(0-5)*(0-7)) / ((9-1)*(9-3)*(9-5)*(9-7)) Ответ: 0,3125

№4

L(x)=1*(*(0-4)*(0-6)*(0-8)*(0-10)) / (*(2-4)*(2-6)*(2-8)*(2-10)) +3,5*((0-2)*(0-6)*(0-8)*(0-10)) / ((4-2)*(4-6)*(4-8)*(4-10)) +11*((0-2)*(0-4)*(0-8)*(0-10)) / ((6-2)*(6-4)*(6-8)*(6-10)) +26,5*((0-2)*(0-4)*(0-6)*(0-10)) / ((8-2)*(8-4)*(8-6)*(8-10)) +53*((0-2)*(0-4)*(0-6)*(0-8)) / ((10-2)*(10-4)*(10-6)*(10-8)) Ответ: 0,5

№5

L(x)=1*(*(0-1)*(0-3)*(0-5)*(0-7)) / (*(-1-1)*(-1-3)*(-1-5)*(-1-7)) +2*((0--1)*(0-3)*(0-5)*(0-7)) / ((1--1)*(1-3)*(1-5)*(1-7)) +7*((0--1)*(0-1)*(0-5)*(0-7)) / ((3--1)*(3-1)*(3-5)*(3-7)) +22*((0--1)*(0-1)*(0-3)*(0-7)) / ((5--1)*(5-1)*(5-3)*(5-7)) +53*((0--1)*(0-1)*(0-3)*(0-5)) / ((7--1)*(7-1)*(7-3)*(7-5)) Ответ: 1,375

№6

L(x)=2*(*(0-3)*(0-6)*(0-9)*(0-12)) / (*(0-3)*(0-6)*(0-9)*(0-12)) +4*((0-0)*(0-6)*(0-9)*(0-12)) / ((3-0)*(3-6)*(3-9)*(3-12)) +14*((0-0)*(0-3)*(0-9)*(0-12)) / ((6-0)*(6-3)*(6-9)*(6-12)) +44*((0-0)*(0-3)*(0-6)*(0-12)) / ((9-0)*(9-3)*(9-6)*(9-12)) +106*((0-0)*(0-3)*(0-6)*(0-9)) / ((12-0)*(12-3)*(12-6)*(12-9)) Ответ: 2

№7

L(x)=1*(*(0--7)*(0--6)*(0--5)*(0--4)) / (*(-8--7)*(-8--6)*(-8--5)*(-8--4)) +3*((0--8)*(0--6)*(0--5)*(0--4)) / ((-7--8)*(-7--6)*(-7--5)*(-7--4)) +7*((0--8)*(0--7)*(0--5)*(0--4)) / ((-6--8)*(-6--7)*(-6--5)*(-6--4)) +19*((0--8)*(0--7)*(0--6)*(0--4)) / ((-5--8)*(-5--7)*(-5--6)*(-5--4)) +45*((0--8)*(0--7)*(0--6)*(0--5)) / ((-4--8)*(-4--7)*(-4--6)*(-4--5)) Ответ: 409

№8

L(x)=1,5*(*(0--4)*(0--2)*(0-0)*(0-2)) / (*(-6--4)*(-6--2)*(-6-0)*(-6-2)) +3,5*((0--6)*(0--2)*(0-0)*(0-2)) / ((-4--6)*(-4--2)*(-4-0)*(-4-2)) +9,5*((0--6)*(0--4)*(0-0)*(0-2)) / ((-2--6)*(-2--4)*(-2-0)*(-2-2)) +22,5*((0--6)*(0--4)*(0--2)*(0-2)) / ((0--6)*(0--4)*(0--2)*(0-2))

+45,5*((0--6)*(0--4)*(0--2)*(0-0)) / ((2--6)*(2--4)*(2--2)*(2-0)) Ответ: 22,5

№9

L(x)=2*(*(0-6)*(0-7)*(0-8)*(0-9)) / (*(5-6)*(5-7)*(5-8)*(5-9)) +6*((0-5)*(0-7)*(0-8)*(0-9)) / ((6-5)*(6-7)*(6-8)*(6-9)) +14*((0-5)*(0-6)*(0-8)*(0-9)) / ((7-5)*(7-6)*(7-8)*(7-9)) +38*((0-5)*(0-6)*(0-7)*(0-9)) / ((8-5)*(8-6)*(8-7)*(8-9)) +90*((0-5)*(0-6)*(0-7)*(0-8)) / ((9-5)*(9-6)*(9-7)*(9-8)) Ответ: -378

№10

L(x)=2*(*(0-6)*(0-9)*(0-12)*(0-15)) / (*(3-6)*(3-9)*(3-12)*(3-15)) +-2*((0-3)*(0-9)*(0-12)*(0-15)) / ((6-3)*(6-9)*(6-12)*(6-15)) +10*((0-3)*(0-6)*(0-12)*(0-15)) / ((9-3)*(9-6)*(9-12)*(9-15)) +20*((0-3)*(0-6)*(0-9)*(0-15)) / ((12-3)*(12-6)*(12-9)*(12-15)) +70*((0-3)*(0-6)*(0-9)*(0-12)) / ((15-3)*(15-6)*(15-9)*(15-12)) Ответ: 100