Метод Гаусса-Зейделя Теоретические основы
Возьмём систему: , где
Или 
И покажем, как её можно решить с использованием метода Гаусса-Зейделя.
Чтобы пояснить суть метода, перепишем задачу в виде:
Здесь в j-м уравнении мы перенесли в правую часть все члены, содержащие xi , для i > j. Эта запись может быть представлена:
где в принятых обозначениях D означает матрицу, у которой на главной диагонали стоят соответствующие элементы матрицы A, а все остальные нули; тогда как матрицы U и L содержат верхнюю и нижнюю треугольные части A, на главной диагонали которых нули.
Итерационный
процесс в методе Гаусса-Зейделя строится
по формуле 
после
выбора соответствующего начального
приближения 
.
Метод
Гаусса-Зейделя можно рассматривать
как модификацию метода
Якоби. Основная идея модификации
состоит в том, что новые значения 
используются
здесь сразу же по мере получения, в то
время как в методе
Якоби они
не используются до следующей итерации:
где 
Таким образом, i-тая компонента (k + 1)-го приближения вычисляется по формуле:
Блок-схема метода
Результаты решения
№1
Матрица А:
2,7 |
3,3 |
1,3 |
3,5 |
-1,7 |
2,8 |
4,1 |
5,8 |
-1,7 |
Точность e = 0,0001 Матрица B
0 |
-1,222222 |
-0,481481 |
2,058824 |
0 |
1,647059 |
2,411765 |
3,411765 |
0 |
Vector D = { 0,777777777777778; -1; -0,470588235294118 } ||B|| = 5,82352941176471 ||D|| = 1 Матрица А:
36,35 |
26,74 |
6,34 |
26,74 |
47,42 |
-10,33 |
6,34 |
-10,33 |
12,42 |
Матрица B
0 |
-0,735626 |
-0,174415 |
-0,563897 |
0 |
0,217841 |
-0,510467 |
0,831723 |
0 |
Vector D = { 0,40990371389271; 0,183045128637706; 0,493558776167472 } M = 5,33441527255955 Производим итерации: Начальное приближение X = { 0,40990371389271; 0,183045128637706; 0,493558776167472 } Итерация №1: X = {0,189166729555048; 0,183891687252383; 0,549942356194695} Итерация №2: X = {0,178709814156724; 0,202070942828773; 0,570400371792882} Итерация №3: X = {0,16176849055273; 0,216080691759605; 0,590700589031595} Итерация №4: X = {0,147921886324288; 0,228310962555566; 0,607941021248229} Итерация №5: X = {0,135917985874839; 0,238835592728828; 0,622822193433358}
№2
Матрица А:
3,1 |
2,8 |
1,9 |
1,9 |
3,1 |
2,1 |
7,5 |
3,8 |
4,8 |
Точность e = 0,0001 Матрица B
0 |
-0,903226 |
-0,612903 |
-0,612903 |
0 |
-0,677419 |
-1,5625 |
-0,791667 |
0 |
Vector D = { 0,0645161290322581; 0,67741935483871; 1,16666666666667 } ||B|| = 2,35416666666667 ||D|| = 1,16666666666667 Матрица А:
69,47 |
43,07 |
45,88 |
43,07 |
31,89 |
30,07 |
45,88 |
30,07 |
31,06 |
Матрица B
0 |
-0,61998 |
-0,660429 |
-1,35058 |
0 |
-0,942929 |
-1,477141 |
-0,968126 |
0 |
Vector D = { 0,670937095148985; 0,888993414863594; 1,0196394075982 } M = 11,5833268046397 Производим итерации: Начальное приближение X = { 0,670937095148985; 0,888993414863594; 1,0196394075982 } Итерация №1: X = {-0,5536203022712; 0,675254607473904; 1,18368298201746} Итерация №2: X = {-0,529445676678597; 0,487923425063723; 1,32933387811809} Итерация №3: X = {-0,509496188938427; 0,323641616261118; 1,45891119599238} Итерация №4: X = {-0,493221391744589; 0,179479011569416; 1,57443862122825} Итерация №5: X = {-0,480141139632169; 0,0528789446103513; 1,6776820869894}
№3
Матрица А:
3,3 |
2,1 |
2,8 |
4,1 |
3,7 |
4,8 |
2,7 |
1,8 |
1,1 |
Точность e = 0,0001 Матрица B
0 |
-0,636364 |
-0,848485 |
-1,108108 |
0 |
-1,297297 |
-2,454545 |
-1,636364 |
0 |
Vector D = { 0,242424242424242; 1,54054054054054; 2,90909090909091 } ||B|| = 4,09090909090909 ||D|| = 2,90909090909091 Матрица А:
34,99 |
26,96 |
31,89 |
26,96 |
21,34 |
25,62 |
31,89 |
25,62 |
32,09 |
Матрица B
0 |
-0,770506 |
-0,911403 |
-1,263355 |
0 |
-1,200562 |
-0,993768 |
-0,79838 |
0 |
Vector D = { 0,990282937982281; 1,3369259606373; 1,03209722655033 } M = 7,49483863617046 Производим итерации: Начальное приближение X = { 0,990282937982281; 1,3369259606373; 1,03209722655033 } Итерация №1: X = {-0,980483122419879; 1,33652736814529; 0,939413387413135} Итерация №2: X = {-0,895703651609088; 1,34069350805326; 0,85183614127421} Итерация №3: X = {-0,819095499352682; 1,34905214260089; 0,769032084167097} Итерация №4: X = {-0,750067988814198; 1,36125730937534; 0,690690429949783} Итерация №5: X = {-0,688071302425201; 1,37698751162465; 0,616521464210539}
№4
Матрица А:
3,2 |
-2,5 |
3,7 |
0,5 |
0,34 |
1,7 |
1,6 |
2,3 |
-1,5 |
Точность e = 0,0001 Матрица B
0 |
0,78125 |
-1,15625 |
-1,470588 |
0 |
-5 |
1,066667 |
1,533333 |
0 |
Vector D = { 2,03125; -0,705882352941176; -2,86666666666667 } ||B|| = 6,47058823529412 ||D|| = 2,86666666666667 Матрица А:
13,05 |
-4,15 |
10,29 |
-4,15 |
11,6556 |
-12,122 |
10,29 |
-12,122 |
18,83 |
Матрица B
0 |
0,318008 |
-0,788506 |
0,356052 |
0 |
1,040015 |
-0,546468 |
0,64376 |
0 |
Vector D = { 2,11187739463601; -0,552661381653454; 0,913011152416357 } M = 5,58643784620987 Производим итерации: Начальное приближение X = { 2,11187739463601; -0,552661381653454; 0,913011152416357 } Итерация №1: X = {1,21621229944627; 0,829918857226836; 0,782658089538054} Итерация №2: X = {1,75866754912987; 0,887491994429223; 0,523286716724625} Итерация №3: X = {1,98149206603716; 0,697078970983055; 0,278939879274257} Итерация №4: X = {2,11360815109943; 0,489994770207041; 0,0734300971660438} Итерация №5: X = {2,20979943268357; 0,310510594348091; -0,0946801241437284}
№5
Матрица А:
3,6 |
1,8 |
-4,7 |
2,7 |
-3,6 |
1,9 |
1,5 |
4,5 |
3,3 |
Точность e = 0,0001 Матрица B
0 |
-0,5 |
1,305556 |
0,75 |
0 |
0,527778 |
-0,454545 |
-1,363636 |
0 |
Vector D = { 1,05555555555556; -0,111111111111111; -0,484848484848485 } ||B|| = 1,81818181818182 ||D|| = 1,05555555555556 Матрица А:
22,5 |
3,51 |
-6,84 |
3,51 |
36,45 |
-0,45 |
-6,84 |
-0,45 |
36,59 |
Матрица B
0 |
-0,156 |
0,304 |
-0,096296 |
0 |
0,012346 |
0,186936 |
0,012298 |
0 |
Vector D = { 0,549333333333333; -0,0493827160493827; -0,611642525280131 } M = 16,8322055622945 Производим итерации: Начальное приближение X = { 0,549333333333333; -0,0493827160493827; -0,611642525280131 } Итерация №1: X = {0,371097709351877; -0,092669193311417; -0,543410571331601} Итерация №2: X = {0,398592913805108; -0,0944745098643388; -0,538292921536267} Итерация №3: X = {0,400430308725145; -0,0945882633283012; -0,537950844679359} Итерация №4: X = {0,400552045630023; -0,0945957629702906; -0,537928179864096} Итерация №5: X = {0,400560105678013; -0,094596259310526; -0,537926679252586}
№6
Матрица А:
2,7 |
0,9 |
-1,5 |
4,5 |
-2,8 |
-6,7 |
5,1 |
3,7 |
-1,4 |
Точность e = 0,0001 Матрица B
0 |
-0,333333 |
0,555556 |
1,607143 |
0 |
-2,392857 |
3,642857 |
2,642857 |
0 |
Vector D = { 1,2962962962963; -0,928571428571429; 0,1 } ||B|| = 6,28571428571429 ||D|| = 1,2962962962963 Матрица А:
53,55 |
8,7 |
-41,34 |
8,7 |
22,34 |
12,23 |
-41,34 |
12,23 |
49,1 |
Матрица B
0 |
-0,162465 |
0,771989 |
-0,389436 |
0 |
-0,547449 |
0,841955 |
-0,249084 |
0 |
Vector D = { 0,381624649859944; -0,208057296329454; -0,457718940936864 } M = 5,245732962882 Производим итерации: Начальное приближение X = { 0,381624649859944; -0,208057296329454; -0,457718940936864 } Итерация №1: X = {0,0620727816944222; 0,0183468866121919; -0,410026346802845} Итерация №2: X = {0,0621081775843943; -0,00777613802978674; -0,403489730561239} Итерация №3: X = {0,0713984489161067; -0,0149725649420847; -0,393875227139846} Итерация №4: X = {0,0799899052294097; -0,0235818329263897; -0,384497179249011} Итерация №5: X = {0,0886283577274596; -0,0320799556854741; -0,375107247118401}
№7
Матрица А:
3,8 |
6,7 |
-1,2 |
6,4 |
1,3 |
-2,7 |
2,4 |
-4,5 |
3,5 |
Точность e = 0,0001 Матрица B
0 |
-1,763158 |
0,315789 |
-4,923077 |
0 |
2,076923 |
-0,685714 |
1,285714 |
0 |
Vector D = { 1,36842105263158; 2,92307692307692; -0,171428571428571 } ||B|| = 7 ||D|| = 2,92307692307692 Матрица А:
61,16 |
22,98 |
-13,44 |
22,98 |
66,83 |
-27,3 |
-13,44 |
-27,3 |
20,98 |
Матрица B
0 |
-0,375736 |
0,219751 |
-0,343858 |
0 |
0,408499 |
0,64061 |
1,301239 |
0 |
Vector D = { 0,697187704381949; 0,635642675445159; -0,886558627264061 } M = 5,36362270330685 Производим итерации: Начальное приближение X = { 0,697187704381949; 0,635642675445159; -0,886558627264061 } Итерация №1: X = {0,263531448133441; 0,182866927990194; -0,479784089749965} Итерация №2: X = {0,523044797719847; 0,259798367473049; -0,213431005082508} Итерация №3: X = {0,552670385990196; 0,358416401184989; -0,0661268951354416} Итерация №4: X = {0,547986357589088; 0,42020064739496; 0,0112685567149551} Итерация №5: X = {0,541779570390988; 0,453950876413787; 0,0512095496735583}
№8
Матрица А:
1,7 |
2,8 |
1,9 |
21 |
34 |
18 |
4,2 |
-1,7 |
1,3 |
Точность e = 0,0001 Матрица B
0 |
-1,647059 |
-1,117647 |
-0,617647 |
0 |
-0,529412 |
-3,230769 |
1,307692 |
0 |
Vector D = { 0,411764705882353; 0,323529411764706; 2,15384615384615 } ||B|| = 4,53846153846154 ||D|| = 2,15384615384615 Матрица А:
461,53 |
711,62 |
386,69 |
711,62 |
1166,73 |
615,11 |
386,69 |
615,11 |
329,3 |
Матрица B
0 |
-1,541872 |
-0,837844 |
-0,609927 |
0 |
-0,527209 |
-1,174279 |
-1,867932 |
0 |
Vector D = { 0,528568023747102; 0,318154157345744; 0,616368053446705 } M = 6,76092299268804 Производим итерации: Начальное приближение X = { 0,528568023747102; 0,318154157345744; 0,616368053446705 } Итерация №1: X = {-0,478404922838569; 0,284991692880769; 0,645803703020214} Итерация №2: X = {-0,451935134029639; 0,253328331587778; 0,673865796947959} Итерация №3: X = {-0,426625944892642; 0,22309700148607; 0,700615821580441} Итерация №4: X = {-0,402425454996334; 0,194233630979015; 0,726112512727089} Итерация №5: X = {-0,379284085592973; 0,166677014635872; 0,750411978698072}
№9
Матрица А:
9,1 |
5,6 |
7,8 |
3,8 |
5,1 |
2,8 |
4,1 |
5,7 |
1,2 |
Точность e = 0,0001 Матрица B
0 |
-0,615385 |
-0,857143 |
-0,745098 |
0 |
-0,54902 |
-3,416667 |
-4,75 |
0 |
Vector D = { 1,07692307692308; 1,31372549019608; 4,83333333333333 } ||B|| = 8,16666666666667 ||D|| = 4,83333333333333 Матрица А:
114,06 |
93,71 |
86,54 |
93,71 |
89,86 |
64,8 |
86,54 |
64,8 |
70,12 |
Матрица B
0 |
-0,821585 |
-0,758723 |
-1,042844 |
0 |
-0,721122 |
-1,23417 |
-0,92413 |
0 |
Vector D = { 1,21357180431352; 1,35889160916982; 1,45693097547062 } M = 5,19818129313914 Производим итерации: Начальное приближение X = { 1,21357180431352; 1,35889160916982; 1,45693097547062 } Итерация №1: X = {-1,00828107410601; 1,35974729850854; 1,44473786665403} Итерация №2: X = {-0,999732897803569; 1,35962559641655; 1,43430043251752} Итерация №3: X = {-0,991713782835885; 1,35878956779897; 1,42517608062242} Итерация №4: X = {-0,984104054142607; 1,35743357321802; 1,41703749716163} Итерация №5: X = {-0,976815054801228; 1,35570119040006; 1,40964257992833}
№10
Матрица А:
7,6 |
5,8 |
4,7 |
3,8 |
4,1 |
2,7 |
2,9 |
2,1 |
3,8 |
Точность e = 0,0001 Матрица B
0 |
-0,763158 |
-0,618421 |
-0,926829 |
0 |
-0,658537 |
-0,763158 |
-0,552632 |
0 |
Vector D = { 1,32894736842105; 2,36585365853659; 2,05263157894737 } ||B|| = 1,58536585365854 ||D|| = 2,36585365853659 Матрица А:
80,61 |
65,75 |
57 |
65,75 |
54,86 |
46,31 |
57 |
46,31 |
43,82 |
Матрица B
0 |
-0,815656 |
-0,707108 |
-1,198505 |
0 |
-0,844149 |
-1,300776 |
-1,056823 |
0 |
Vector D = { 1,6901128892197; 2,09132336857455; 2,35737106344135 } M = 24,0178983824186 Производим итерации: Начальное приближение X = { 1,6901128892197; 2,09132336857455; 2,35737106344135 } Итерация №1:
X = {-1,68260342513254; 2,11796064991789; 2,30775074246593} Итерация №2: X = {-1,66924333274605; 2,14383544011038; 2,26302717332299} Итерация №3: X = {-1,65872384402268; 2,16898112190856; 2,22276913175964} Итерация №4: X = {-1,65076726554754; 2,19342889569745; 2,18658242757784} Итерация №5: X = {-1,64512031092971; 2,21720795155849; 2,15410674318393}