Формула Симпсона(парабол) Теоретические основы

Для приближённого вычисления интеграла функции f(x) используются методы приближённого интегрирования, наиболее употребительные из них основаны на замене интеграла конечной суммой. Для вычисления  промежуток от a(x0) до b(xn) разбивается на n равных частей, и для точек деления x0 , x1 , x2 , x3 , . . . , xn-1 , xn вычисляются значения интегрируемой функции y. Затем необходимо воспользоваться формулой приближённого интегрирования:

Формула Cимпсона (парабол) (рис.1) :

Рис.1.

Рассматривается приближенное вычисление интеграла  (1)

При его аппроксимации заменим функцию f(x) параболой, проходящей через точки  т.е представим приближенно f(x) в виде

 

где  - интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени,

.

Проводя интегрирование получим

 

Таким образом приходим к приближенному равенству

 

Котрое называется формулой Симпсона или формулой парабол.

На всем отрезке [a,b] формула Симпсона имеет вид

Чтобы не использовать дробных индексов можно обозначить

xi=a+0,5hi, fi=f(xi), i=1,2,…,2N, hN=b-a

и записать формулу Симпсона в виде

Блок-схема метода

Результаты решения

№1

f₁ = 1,00004999875006 f₂ = 1,00079968025574 f₃ = 1,00404183179786 f₄ = 1,01271911209377 f₅ = 1,03077640640442 f₆ = 1,06282642044691 f₇ = 1,11359777298628 f₈ = 1,18726576637247 f₉ = 1,28689548915209 (0,0333333333333333)(1 + 1,4142135623731+ 4*5,43536149909071 + 2*4,2636109791689)=1,08942938390246 Полученный результат:1,08942938390246

№2

f₁ = 0,980002953477064 f₂ = 0,917025130165728 f₃ = 0,77897926317323 f₄ = 0,428756894100899 f₅ = -0,416146836547142 f₆ = -0,854230527865939 f₇ = 0,879942727699295 f₈ = 0,886712788443478 f₉ = -0,271862358827783 (0,0666666666666667)(1 + -0,848570274784605+ 4*1,95091574897466 + 2*1,37826428484417)=0,714108086053492 Полученный результат:0,714108086053492

№3

f₁ = 1,01341008481266 f₂ = 1,10272390016722 f₃ = 1,31491444588612 f₄ = 1,65166582576501 f₅ = 2,09165006633519 f₆ = 2,61380948043273 f₇ = 3,20327956944129 f₈ = 3,8501948002666 f₉ = 4,54785663802191 (0,1)(1 + 5,29150262212918+ 4*12,1711108044972 + 2*9,21839400663156)=7,3412733853381 Полученный результат:7,3412733853381

№4

f₁ = 0,448981717512614 f₂ = 0,34232807936174 f₃ = 0,219144449655644 f₄ = 0,0788895700787215 f₅ = -0,0778461039470279 f₆ = -0,248685103628328 f₇ = -0,428612390109115 f₈ = -0,608956680369826 f₉ = -0,776320170249065 (0,0333333333333333)(0,54030230586814 + -0,911733914786965+ 4*-0,61465249713695 + 2*-0,436424134557693)=-0,1234296622194 Полученный результат:-0,1234296622194

№5

f₁ = 0,893540943292149 f₂ = 0,939580484088778 f₃ = 0,97569242601607 f₄ = 0,996883361147529 f₅ = 0,996965387613968 f₆ = 0,968584389319468 f₇ = 0,903488472004459 f₈ = 0,793203480472042 f₉ = 0,63033879244773 (0,0333333333333333)(0,841470984807897 + 0,410781290502909+ 4*4,40002602137438 + 2*3,69825171502782)=0,874961993028798 Полученный результат:0,874961993028798

№6

f₁ = 2,15635581227525 f₂ = 2,30886552009893 f₃ = 2,45377762707554 f₄ = 2,58752752571389 f₅ = 2,70682518110537 f₆ = 2,80873606055313 f₇ = 2,89075331841197 f₈ = 2,95085946050647 f₉ = 2,98757597128092 (0,0523333333333333)(2 + 2,99999968293183+ 4*13,195287910149 + 2*10,6559885668724)=4,13920705593061 Полученный результат:4,13920705593061

№7

f₁ = 1,16924215979742 f₂ = 1,36187921280638 f₃ = 1,57424788844231 f₄ = 1,79953360989378 f₅ = 2,02754394470979 f₆ = 2,24506856190767 f₇ = 2,43696477041945 f₈ = 2,58793292991901 f₉ = 2,68471874304648 (0,0523333333333333)(1 + 2,71828096657855+ 4*9,89271750641545 + 2*7,99441431452684)=3,10221426684772 Полученный результат:3,10221426684772

№8

f₁ = 2,68505387989394 f₂ = 2,58857031128205 f₃ = 2,4378462283464 f₄ = 2,24611977040615 f₅ = 2,02868595199506 f₆ = 1,80069325123764 f₇ = 1,57536517388672 f₈ = 1,36291094495645 f₉ = 1,17016211053546

(0,0523333333333333)(2,71828182845905 + 1,00079664386303+ 4*9,89711334465759 + 2*7,99829427788229)=3,10358230128486 Полученный результат:3,10358230128486

№9

f₁ = 0,985103708413239 f₂ = 0,941637617656023 f₃ = 0,873111809839419 f₄ = 0,784876405298603 f₅ = 0,683461986410032 f₆ = 0,57581711958576 f₇ = 0,468562511316218 f₈ = 0,367368169618722 f₉ = 0,276528208429792 (0,0333333333333333)(1 + 0,198766110346413+ 4*3,2867682244087 + 2*2,66969931215911)=0,656174587743314 Полученный результат:0,656174587743314

№10

f₁ = 0,691606222341899 f₂ = 0,686978591252891 f₃ = 0,679249959102988 f₄ = 0,668396247735923 f₅ = 0,654383326755079 f₆ = 0,637166579050885 f₇ = 0,61669032221497 f₈ = 0,592887069578439 f₉ = 0,565676609462669 (0,0261666666666667)(0,693147180559945 + 0,534964874987826+ 4*3,20760643987761 + 2*2,58542848761814)=0,503169163679372 Полученный результат:0,503169163679372