Нахождение определителя матрицы методом Гаусса Теоретические основы
Итак, применим метод Гаусса для вычисления определителя ∆. При решении системы уравнений:
Ax = b
методом Гаусса мы путём преобразования по схеме единственного деления привели её к треугольному виду:
B x = β,
Где определитель detB = 1.
Элементы
матрицы B получилась из матрицы A с
помощью следующих элементарных
преобразований:
1) деления на
ведущие элементы a 11 матрицы
A , 
матрицы 
,...,
матрицы
An-1.
2)
вычитания из строк матрицы A и
промежуточных матриц 
чисел,
пропорциональных элементам соответствующих
ведущих строк.
При первой операции
определитель матрицы также делится на
соответствующий ведущий элемент,
т.е.
.
Следовательно:
,
т.е.
определитель равен произведению ведущих
элементов для соответствующей схемы
Гаусса.
Блок-схема метода
Результаты решения
№1
Матрица A:
1 |
0,17 |
-0,25 |
0,54 |
0,42 |
1 |
0,67 |
-0,32 |
-0,11 |
0,35 |
1 |
-0,74 |
0,55 |
0,43 |
0,36 |
1 |
Прямой ход: Итерация №1 Матрица А :
1 |
0,17 |
-0,25 |
0,54 |
0 |
0,9286 |
0,775 |
-0,5468 |
0 |
0,3687 |
0,9725 |
-0,6806 |
0 |
0,3365 |
0,4975 |
0,703 |
Итерация №2 Матрица А :
1 |
0,17 |
-0,25 |
0,54 |
0 |
0,9286 |
0,775 |
-0,5468 |
0 |
0 |
0,664787 |
-0,463493 |
0 |
0 |
0,216661 |
0,901146 |
Итерация №3 Матрица А :
1 |
0,17 |
-0,25 |
0,54 |
0 |
0,9286 |
0,775 |
-0,5468 |
0 |
0 |
0,664787 |
-0,463493 |
0 |
0 |
0 |
1,052203 |
det = A11*A22*A33*A44 = 0,64954694
№2
Матрица A:
1 |
0,42 |
0,54 |
0,66 |
0,42 |
1 |
0,32 |
0,44 |
0,54 |
0,32 |
1 |
0,22 |
0,66 |
0,44 |
0,22 |
1 |
Прямой ход: Итерация №1 Матрица А :
1 |
0,42 |
0,54 |
0,66 |
0 |
0,8236 |
0,0932 |
0,1628 |
0 |
0,0932 |
0,7084 |
-0,1364 |
0 |
0,1628 |
-0,1364 |
0,5644 |
Итерация №2 Матрица А :
1 |
0,42 |
0,54 |
0,66 |
0 |
0,8236 |
0,0932 |
0,1628 |
0 |
0 |
0,697853 |
-0,154823 |
0 |
0 |
-0,154823 |
0,53222 |
Итерация №3 Матрица А :
1 |
0,42 |
0,54 |
0,66 |
0 |
0,8236 |
0,0932 |
0,1628 |
0 |
0 |
0,697853 |
-0,154823 |
0 |
0 |
0 |
0,497871 |
det = A11*A22*A33*A44 = 0,28615248
№3
Матрица A:
8,2 |
1,4 |
-2,3 |
0,2 |
-1,6 |
5,4 |
-7,7 |
3,1 |
0,7 |
1,9 |
-8,5 |
4,8 |
5,3 |
-5,9 |
2,7 |
-7,9 |
Прямой ход: Итерация №1 Матрица А :
8,2 |
1,4 |
-2,3 |
0,2 |
0 |
5,673171 |
-8,14878 |
3,139024 |
0 |
1,780488 |
-8,303659 |
4,782927 |
0 |
-6,804878 |
4,186585 |
-8,029268 |
Итерация №2 Матрица А :
8,2 |
1,4 |
-2,3 |
0,2 |
0 |
5,673171 |
-8,14878 |
3,139024 |
0 |
0 |
-5,746217 |
3,797764 |
0 |
0 |
-5,587747 |
-4,264058 |
Итерация №3 Матрица А :
8,2 |
1,4 |
-2,3 |
0,2 |
0 |
5,673171 |
-8,14878 |
3,139024 |
0 |
0 |
-5,746217 |
3,797764 |
0 |
0 |
0 |
-7,957088 |
det = A11*A22*A33*A44 = 2127,041ъ
№4
Матрица A:
1 |
0,42 |
0,74 |
0,66 |
0,22 |
1 |
0,32 |
0,34 |
0,54 |
0,52 |
1 |
0,22 |
0,66 |
0,14 |
0,22 |
1 |
Прямой ход: Итерация №1 Матрица А :
1 |
0,42 |
0,74 |
0,66 |
0 |
0,9076 |
0,1572 |
0,1948 |
0 |
0,2932 |
0,6004 |
-0,1364 |
0 |
-0,1372 |
-0,2684 |
0,5644 |
Итерация №2 Матрица А :
1 |
0,42 |
0,74 |
0,66 |
0 |
0,9076 |
0,1572 |
0,1948 |
0 |
0 |
0,549617 |
-0,19933 |
0 |
0 |
-0,244636 |
0,593848 |
Итерация №3 Матрица А :
1 |
0,42 |
0,74 |
0,66 |
0 |
0,9076 |
0,1572 |
0,1948 |
0 |
0 |
0,549617 |
-0,19933 |
0 |
0 |
0 |
0,505125 |
det = A11*A22*A33*A44 = 0,25197248
№5
Матрица A:
0,47 |
1 |
0,67 |
-0,32 |
1 |
0,17 |
-0,25 |
0,54 |
0,55 |
0,43 |
0,36 |
1 |
-0,11 |
0,35 |
1 |
-0,74 |
Прямой ход: Итерация №1 Матрица А :
0,47 |
1 |
0,67 |
-0,32 |
0 |
-1,95766 |
-1,675532 |
1,220851 |
0 |
-0,740213 |
-0,424043 |
1,374468 |
0 |
0,584043 |
1,156809 |
-0,814894 |
Итерация №2 Матрица А :
0,47 |
1 |
0,67 |
-0,32 |
0 |
-1,95766 |
-1,675532 |
1,220851 |
0 |
0 |
0,209495 |
0,912851 |
0 |
0 |
0,656935 |
-0,450668 |
Итерация №3 Матрица А :
0,47 |
1 |
0,67 |
-0,32 |
0 |
-1,95766 |
-1,675532 |
1,220851 |
0 |
0 |
0,209495 |
0,912851 |
0 |
0 |
0 |
-3,313194 |
det = A11*A22*A33*A44 = 0,63863804
№6
Матрица A:
-1,6 |
5,4 |
-7,7 |
3,1 |
8,2 |
1,4 |
-2,3 |
0,2 |
5,3 |
-5,9 |
5,7 |
-7,9 |
0,7 |
1,9 |
-8,5 |
4,8 |
Прямой ход: Итерация №1 Матрица А :
-1,6 |
5,4 |
-7,7 |
3,1 |
0 |
29,075 |
-41,7625 |
16,0875 |
0 |
11,9875 |
-19,80625 |
2,36875 |
0 |
4,2625 |
-11,86875 |
6,15625 |
Итерация №2 Матрица А :
-1,6 |
5,4 |
-7,7 |
3,1 |
0 |
29,075 |
-41,7625 |
16,0875 |
0 |
0 |
-2,587747 |
-4,264058 |
0 |
0 |
-5,746217 |
3,797764 |
Итерация №3 Матрица А :
-1,6 |
5,4 |
-7,7 |
3,1 |
0 |
29,075 |
-41,7625 |
16,0875 |
0 |
0 |
-2,587747 |
-4,264058 |
0 |
0 |
0 |
13,266311 |
det = A11*A22*A33*A44 = 1597,025
№7
Матрица A:
0,8 |
0,47 |
0,74 |
0,66 |
-0,72 |
1 |
0,32 |
0,84 |
0,54 |
0,55 |
0,95 |
0,33 |
0,66 |
0,14 |
0,42 |
1 |
Прямой ход: Итерация №1 Матрица А :
0,8 |
0,47 |
0,74 |
0,66 |
0 |
1,423 |
0,986 |
1,434 |
0 |
0,23275 |
0,4505 |
-0,1155 |
0 |
-0,24775 |
-0,1905 |
0,4555 |
Итерация №2 Матрица А :
0,8 |
0,47 |
0,74 |
0,66 |
0 |
1,423 |
0,986 |
1,434 |
0 |
0 |
0,289227 |
-0,350049 |
0 |
0 |
-0,018833 |
0,705165 |
Итерация №3 Матрица А :
0,8 |
0,47 |
0,74 |
0,66 |
0 |
1,423 |
0,986 |
1,434 |
0 |
0 |
0,289227 |
-0,350049 |
0 |
0 |
0 |
0,682371 |
det = A11*A22*A33*A44 = 0,2246748
№8
Матрица A:
0,27 |
1 |
0,62 |
-0,32 |
1 |
0,17 |
-0,35 |
0,54 |
0,55 |
0,43 |
0,36 |
1 |
-0,36 |
0,35 |
1 |
-0,64 |
Прямой ход: Итерация №1 Матрица А :
0,27 |
1 |
0,62 |
-0,32 |
0 |
-3,533704 |
-2,646296 |
1,725185 |
0 |
-1,607037 |
-0,902963 |
1,651852 |
0 |
1,683333 |
1,826667 |
-1,066667 |
Итерация №2 Матрица А :
0,27 |
1 |
0,62 |
-0,32 |
0 |
-3,533704 |
-2,646296 |
1,725185 |
0 |
0 |
0,300504 |
0,867282 |
0 |
0 |
0,566063 |
-0,244849 |
Итерация №3 Матрица А :
0,27 |
1 |
0,62 |
-0,32 |
0 |
-3,533704 |
-2,646296 |
1,725185 |
0 |
0 |
0,300504 |
0,867282 |
0 |
0 |
0 |
-1,878559 |
det = A11*A22*A33*A44 = 0,53860344
№9
Матрица A:
1 |
0,41 |
0,19 |
0,66 |
-0,72 |
1 |
0,12 |
0,84 |
0,54 |
0,55 |
0,9 |
-0,33 |
0,74 |
0,11 |
0,32 |
1 |
Прямой ход: Итерация №1 Матрица А :
1 |
0,41 |
0,19 |
0,66 |
0 |
1,2952 |
0,2568 |
1,3152 |
0 |
0,3286 |
0,7974 |
-0,6864 |
0 |
-0,1934 |
0,1794 |
0,5116 |
Итерация №2 Матрица А :
1 |
0,41 |
0,19 |
0,66 |
0 |
1,2952 |
0,2568 |
1,3152 |
0 |
0 |
0,732248 |
-1,020074 |
0 |
0 |
0,217746 |
0,707986 |
Итерация №3 Матрица А :
1 |
0,41 |
0,19 |
0,66 |
0 |
1,2952 |
0,2568 |
1,3152 |
0 |
0 |
0,732248 |
-1,020074 |
0 |
0 |
0 |
1,011321 |
det = A11*A22*A33*A44 = 0,95914536
№10
Матрица A:
0,49 |
0,7 |
0,62 |
-0,32 |
1 |
0,17 |
-0,35 |
0,16 |
0,28 |
0,93 |
0,36 |
1 |
-0,36 |
0,86 |
1 |
-0,64 |
Прямой ход: Итерация №1 Матрица А :
0,49 |
0,7 |
0,62 |
-0,32 |
0 |
-1,258571 |
-1,615306 |
0,813061 |
0 |
0,53 |
0,005714 |
1,182857 |
0 |
1,374286 |
1,45551 |
-0,875102 |
Итерация №2 Матрица А :
0,49 |
0,7 |
0,62 |
-0,32 |
0 |
-1,258571 |
-1,615306 |
0,813061 |
0 |
0 |
-0,674511 |
1,525247 |
0 |
0 |
-0,308309 |
0,012713 |
Итерация №3
Матрица А :
0,49 |
0,7 |
0,62 |
-0,32 |
0 |
-1,258571 |
-1,615306 |
0,813061 |
0 |
0 |
-0,674511 |
1,525247 |
0 |
0 |
0 |
-0,684454 |
det = A11*A22*A33*A44 = -0,2847132