Блок-схема метода

Результаты решения

№1

Ответ: x=-0,567143290415281

№2

Ответ: x=-0,824132312295601

№3

Ответ: x=-2,53208888673475

№4

Ответ: x=-1,1745594103255

№5

Ответ: x=1,11415714087123

№6

Ответ: x=-1,83462794436057

№7

Ответ: x=-0,696440599943217

№8

Ответ: x=0,696440599645375

№9

Ответ: x=1,83462794470086

№10

Ответ: x=-0,682327803703245

Метод простой итерации Теоретические основы

В основе метода заложено понятие сжимающего отображения. Определим терминологию:

Говорят, что функция   осуществляет сжимающее отображение на  , если

1. 

2. 

Тогда основная теорема будет выглядеть так:

Теорема Банаха (принцип сжимающих отображений). Если   — сжимающее отображение на  , то:

1.  — корень;

2. итерационная последовательность   сходится к этому корню;

3. для очередного члена   справедливо 

Поясним смысл параметра  . Согласно теореме Лагранжа имеем:

Отсюда следует, что  . Таким образом, для сходимости метода достаточно, чтобы 

и так далее, пока 

Блок-схема метода

Результаты решения

№1

Ответ: x=-0,567143290415281

№2

Ответ: x=-0,824132312295601

№3

Ответ: x=-2,53208888673475

№4

Ответ: x=-1,1745594103255

№5

Ответ: x=1,11415714087123

№6

Ответ: x=-1,83462794436057

№7

Ответ: x=-0,696440599943217

№8

Ответ: x=0,696440599645375

№9

Ответ: x=1,83462794470086

№10

Ответ: x=-0,682327803703245

Численное интегрирование Руководство пользователя для решения интегралов

1. Перейти на вкладку «Численное интегрирование»

2. Ввести подынтегральное выражение в поле «Интеграл».

3. В выпадающем списке «Метод» выбрать метод решения.

4. Ввести граничные точки и количество отрезков на которые будет делиться функция.

5. Нажать кнопку «Решить».

6. Процесс решения отображается внизу формы.

Программа также предусматривает сохранение исходных данных в файл (кнопка «Сохранить») и загрузку данных из файла (меню «Файл» - «Загрузить файл»).

Формула трапеций Теоретические основы

Рассмотрим интеграл , представляющий собой, как известно, площадь под кривой  на отрезке   (рис. 1).

  Рис. 1. Геометрическое представление численного интегрирования

 

Разобьем теперь интервал интегрирования  (a, b)  на  n  равных частей длиной   каждая ( h называется шагом интегрирования).

Рассмотрим один из этих интервалов (рис. 2).

  Рис. 2. Один интервал численного интегрирования по методу трапеций

 

Площадь под кривой   между   равна:

Предположим, что шаг интегрирования  h достаточно мал, тогда эту площадь без существенной погрешности можно приравнять к площади трапеции ABCD. Так как  , получим:

             

Поскольку интеграл от суммы равен сумме интегралов (свойство аддитивности), то

,            

где  .

Подставляя (3) в (4), окончательно получим [3, 4]:

.