Метод Гаусса для решения слау Теоретические основы

Метод Гаусса применим для решения системы линейных алгебраических уравнений c невырожденной матрицей системы. Идея метода Гаусса состоит в том, что систему n линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных x₁,x₂,...,x_n

приводят последовательным исключением неизвестных к эквивалентной системе с треугольной матрицей

решение которой находят по рекуррентным формулам:

x_n =d_n , x_i = d_i -S ⁿ_k=i+1 c_ik x_k , i=n-1, n-2, ...,1.

Матричная запись метода Гаусса.

1. Прямой ход метода Гаусса: приведение расширенной матрицы системы

     к ступенчатому виду

             с помощью элементарных операций над строками матрицы (под элементарными операциями понимаются следующие операции:

• перестановка строк;

• умножение строки на число, отличное от нуля;

• сложение строки матрицы с другой строкой, умноженной на отличное от нуля чиcло).

Обратный ход метода Гаусса: преобразование полученной ступенчатой матрицы к матрице, в первых n столбцах которой содержится единичная матрица  ,  последний, (n+1)-й, столбец этой матрицы содержит решение системы.

Блок-схема метода

Результаты решения

№1

Точность е = 0,0001 Прямой ход: Итерация №1 Главный элемент в матрице = 4,25 Матрица А:

-0,755294	1	-0,501176
7,973694	0	-1,743624
-0,642518	0	-1,331671

Вектор B = (-1,190588;6,142988;-0,640635) Итерация №2 Главный элемент в матрице = 7,973694 Матрица А:

-0,755294	1	-0,501176
1	0	-0,218672
0	0	-1,472171

Вектор B = (-1,190588;0,770407;-0,145635) Итерация №3 Главный элемент в матрице = 1,472171 Матрица А:

-0,755294	1	-0,501176
1	0	-0,218672
0	0	1

Вектор B = (-1,190588;0,770407;0,098926) Обратный ход: Вектор Х = {0,792039;-0,542787;0,098926}

№2

Точность е = 0,0001 Прямой ход: Итерация №1 Главный элемент в матрице = 7,05 Матрица А:

0,059574	-0,160284	1
0,835574	-1,33095	0
-0,708809	0,806794	0

Вектор B = (0,87234;-8,61766;-0,152553) Итерация №2 Главный элемент в матрице = 1,33095 Матрица А:

0,059574	-0,160284	1
-0,627803	1	0
-0,202301	0	0

Вектор B = (0,87234;6,474817;-5,376399) Итерация №3 Главный элемент в матрице = 0,202301 Матрица А:

0,059574	-0,160284	1
-0,627803	1	0
1	0	0

Вектор B = (0,87234;6,474817;26,576272) Обратный ход: Вектор Х = {26,576272;23,159477;3,00116}

№3

Точность е = 0,0001 Прямой ход: Итерация №1 Главный элемент в матрице = 4,03 Матрица А:

-0,627792	0,774194	1
0,57861	0,74871	0
-0,483821	-2,723548	0

Вектор B = (1,861042;0,533052;-2,779107) Итерация №2 Главный элемент в матрице = 0,74871 Матрица А:

-0,627792	0,774194	1
0,77281	1	0
1,620964	0	0

Вектор B = (1,861042;0,711961;-0,840046) Итерация №3 Главный элемент в матрице = 1,620964 Матрица А:

-0,627792	0,774194	1
0,77281	1	0
1	0	0

Вектор B = (1,861042;0,711961;-0,518239) Обратный ход: Вектор Х = {-0,518239;1,112461;0,674436}

№4

Точность е = 0,0001 Прямой ход: Итерация №1 Главный элемент в матрице = 7,09 Матрица А:

1	0,165021	-0,314528
0	-1,470959	-0,484753
0	-4,779718	3,139633

Вектор B = (-0,669958;-0,761918;7,210564) Итерация №2 Главный элемент в матрице = 1,470959 Матрица А:

1	0,165021	-0,314528
0	1	0,329549
0	0	4,714785

Вектор B = (-0,669958;0,517974;9,686333) Итерация №3 Главный элемент в матрице = 4,714785 Матрица А:

1	0,165021	-0,314528
0	1	0,329549
0	0	1

Вектор B = (-0,669958;0,517974;2,054459) Обратный ход: Вектор Х = {0,002476;-0,159071;2,054459}

№5

Точность е = 0,0001 Прямой ход: Итерация №1 Главный элемент в матрице = 5,11 Матрица А:

-0,223092	0,420744	1
-0,714462	0,818415	0
1,992798	-4,096243	0

Вектор B = (0,81409;-0,153718;0,410665) Итерация №2 Главный элемент в матрице = 0,818415 Матрица А:

-0,223092	0,420744	1
-0,872982	1	0
-1,58315	0	0

Вектор B = (0,81409;-0,187824;-0,358709) Итерация №3 Главный элемент в матрице = 1,58315 Матрица А:

-0,223092	0,420744	1
-0,872982	1	0
1	0	0

Вектор B = (0,81409;-0,187824;0,226579) Обратный ход: Вектор Х = {0,226579;0,009975;0,860441}

№6

Точность е = 0,0001 Прямой ход: Итерация №1 Главный элемент в матрице = 0,71 Матрица А:

0,859155	1	-0,070423
0,731268	0	0,725634
5,180563	0	-5,249718

Вектор B = (0,619718;0,110423;-5,566479) Итерация №2 Главный элемент в матрице = 0,731268 Матрица А:

0,859155	1	-0,070423
1	0	0,992296
0	0	-10,39037

Вектор B = (0,619718;0,151002;-6,348752) Итерация №3 Главный элемент в матрице = 10,39037 Матрица А:

0,859155	1	-0,070423
1	0	0,992296
0	0	1

Вектор B = (0,619718;0,151002;0,611023) Обратный ход: Вектор Х = {-0,455314;1,053933;0,611023}

№7

Точность е = 0,0001 Прямой ход: Итерация №1 Главный элемент в матрице = 3,11 Матрица А:

1	-0,533762	-0,192926
0	2,629293	-1,098328
0	1,100257	-1,754244

Вектор B = (-0,29582;2,081897;1,827492) Итерация №2 Главный элемент в матрице = 2,629293 Матрица А:

1	-0,533762	-0,192926
0	1	-0,417728
0	0	-1,294637

Вектор B = (-0,29582;0,791809;0,956299) Итерация №3 Главный элемент в матрице = 1,294637 Матрица А:

1	-0,533762	-0,192926
0	1	-0,417728
0	0	1

Вектор B = (-0,29582;0,791809;-0,738662) Обратный ход: Вектор Х = {-0,180387;0,483249;-0,738662}

№8

Точность е = 0,0001 Прямой ход: Итерация №1 Главный элемент в матрице = 12 Матрица А:

0,008333	1	-0,010833
0,114083	0	0,157692
-0,13125	0	0,631625

Вектор B = (0,008333;0,254083;0,37875) Итерация №2 Главный элемент в матрице = 0,157692 Матрица А:

0,008333	1	-0,010833
0,723458	0	1
-0,588204	0	0

Вектор B = (0,008333;1,611267;-0,638966) Итерация №3 Главный элемент в матрице = 0,588204 Матрица А:

0,008333	1	-0,010833
0,723458	0	1
1	0	0

Вектор B = (0,008333;1,611267;1,0863) Обратный ход: Вектор Х = {1,0863;0,008222;0,825374}

№9

Точность е = 0,0001 Прямой ход: Итерация №1 Главный элемент в матрице = 0,71 Матрица А:

1	0,140845	0,169014
0	0,325915	-0,056901
0	-0,05831	0,078028

Вектор B = (0,464789;-0,096479;0,219577) Итерация №2 Главный элемент в матрице = 0,325915 Матрица А:

1	0,140845	0,169014
0	1	-0,174589
0	0	0,067848

Вектор B = (0,464789;-0,296024;0,202316) Итерация №3 Главный элемент в матрице = 0,067848 Матрица А:

1	0,140845	0,169014
0	1	-0,174589
0	0	1

Вектор B = (0,464789;-0,296024;2,981911) Обратный ход: Вектор Х = {-0,070828; 0,224586;2,981911}

№10

Точность е = 0,0001 Прямой ход: Итерация №1 Главный элемент в матрице = 0,34 Матрица А:

1	-0,117647	0,294118
0	0,095294	0,131765
0	0,131765	0,680588

Вектор B = (0,970588;-0,011176;0,182941) Итерация №2 Главный элемент в матрице = 0,131765 Матрица А:

1	-0,117647	0,294118
0	0,723214	1
0	-0,360446	0

Вектор B = (0,970588;-0,084821;0,24067) Итерация №3 Главный элемент в матрице = 0,360446 Матрица А:

1	-0,117647	0,294118
0	0,723214	1
0	1	0

Вектор B = (0,970588;-0,084821;-0,667699) Обратный ход: Вектор Х = {0,774957;-0,667699;0,398068}