88__Критерий устойчивости Михайлова (вывод - случай вещественных корней).

Критерий Михайлова: для того, чтобы САУ была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова, начинаясь на положительной части вещественной оси, при изменении  от 0 до + последовательно в положительном направлении проходил n квадрантов, где n – степень характеристического уравнения системы.

Характер системы определяется левой частью(характеристический полином):

(1) Заменим p=jw, где w – угловая частота колебаний, соответствующих чисто мнимому корню другого характеристического полинома:

Критерий 1: Характеристический полином (1) не будет иметь корней в правой полуплоскости(т.е. положит. веществ. или комплексных с положит. веществ. частью), т.е. система будет устойчива, если полное приращение фазы при изменении w от 0 до ∞ равно , где n – показатель степени полинома. Кривая Михайлова – годограф, который описывает вектор с данными координатами.

Рассмотрим зависимость между критерием Михайлова и знаками вещественных корней характеристического уравнения при изменении w = [0, ∞)

,

где каждая скобка – комплексное число, а при умножении комплексных чисел аргументы складываются. Результирующий угол:

1) Рассмотрим случай, когда корень p₁ является веществ. и отрицательным: . Тогда этому корню соответствует сомножитель . При w = 0 вещ. часть , а . При увеличении w: , Y – увеличивается, угол поворота .

2) p – положительный, ,

3)

При w = 0 начальное положение 2-х векторов определяется точ. A₁ и A₂. 1-й вектор повернут относительно вещ. оси на , а 2-й вектор повернут на угол против часовой стрелки. Результирующий угол поворота 1-го вектора равен , 2-го . Тогда произведение скобок равно:

4)

Если характеристическое уравнение имеет l корней с положит. вещ. частью, то каковы бы ни были корни (вещ. или компл.), им соответствует сумма углов поворота, равная .

Остальные (n – l) корней, имеющих отрицат. вещ. части, будут иметь результирующий угол поворота:

Критерий 1: Для линейной системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы вектор D(jw) , описывающий кривую Михайлова при w = [0, ∞) имел угол поворота . Для устойчивых систем кривая Михайлов имеет плавную спиралевидную форму, причем она уходит в ∞ в квадранте k плоскости, номер которого равен степени характеристического полинома. Для неустойчивых систем характерно нарушение последовательности прохождения квадрантов, вследствие чего угол оказывается меньше, чем .

Критерий 2: Для устойчивости системы n-го порядка кривая Михайлова проходит последовательно n квадрантов, из этого следует, что корни уравнений X(w) и Y(w) должны чередоваться.

89__Частотная передаточная функция и частотные характеристики (определения, формы записи, графики).

Важнейшей характеристикой динамического звена является его частотная передаточная функция. Ее можно получить с помощью передаточной функции, заменив линейный оператор p на комплексный j.

Так как передаточная функция есть отношение изображения выходной величины к входной, то при переходе от изображения Лапласа к изображению Фурье, мы получим, что частотная передаточная функция является изображением Фурье функции веса, то есть имеет место интегральное преобразование

W(j)= .

Частотная передаточная функция может быть представлена в следующем виде:

W(j)=U()+jV()

где U() и V() - вещественная и мнимая части.

W(j)=A() ,

где A() - модуль частотной передаточной функции, равный отношению амплитуде выходной величины к амплитуде входной, - аргумент частотной передаточной функции, равный сдвигу фаз выходной величины по отношению к входной.

Для наглядного представления частотных свойств звена используются так называемые частотные характеристики.

Амплитудная частотная характеристика (АЧХ) показывает, как пропускает звено сигнал различной частоты. Оценка пропускания делается по отношению амплитуд выходной и входной величин. То есть АЧХ - это модуль частотной передаточной функции:

A()=W(j)

АЧХ строят для всего диапазона частот , т.к. модуль частотной передаточной функции представляет собой четную функцию частоты.

Другой важной характеристикой является фазовая частотная характеристика (ФЧХ), которая находится как аргумент частотной передаточной функции:

=argW(j)

Если на вход линейного звена в устойчивом режиме будет подана гармоническая функция: , где – амплитуда, – угловая частота, то на входе будет получена также гармоническая функция той же частоты: , сдвинутую на угол .

Воспользуемся формулой Эйлера: , .

Сигнал на входе: ; сигнал на выходе:

На основании принципа суперпозиции можно рассмотреть прохождение сост-х

Воспользуемся записью:

,

Найдем первую производную:

Подставим в уравнение:

Сократим на , получим:

+

=

Выносим за скобки:

=

Запишем отношение:

;

В более общей постановке: для входного воздействия любого вида частотную передаточную функцию можно представить как отношение входной и выходной величин:

Получим, что ч.п.ф. получается из обычной передаточной функции путем подстановки

Ч.п.ф. – изображение Фурье функции веса:

Для наглядного представления свойств звена используются следующие частотные характеристики:

1. Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ).

строится в комплексной плоскости, представляет собой геометрическое место точек концов векторов (годограф), соответствующее ч.п.ф. в комплексной форме.

Т.к. может быть (+) и (–), то строится только положительная ветвь, а отрицательная – зеркально отображается.

Построение АФФЧХ по вещественным и мнимым частям – трудоемкая работа, проще строить ее, используя полярные координаты при непосредственном вычислении модуля и фазы. В этом случае, зная модуль и фазу, легко вычислить вещественную и мнимую части путем умножения модуля на направл. косинус между вектором и соответствующей осью.

2. АЧХ

Показывает, как звено пропускает сигнал различной частоты

3. ФЧХ

Показывает фазовые сдвиги, вносимые звеном на различных частотах.