7.5. Квадратичне програмування

Задача квадратичного програмування включає цільову функцію, складену з лінійних і квадратичних що складаються, і систему лінійних обмежень. Нижче розглядається наступна форма запису задачі:

Максимізувати (7.11)

при умовах

(7.12)

де уявляють собою перемінні, які доповнюють та перетворюють нерівності у рівняння. Для того щоб не розглядати усі виникаючі варіанти, приймемо, що усі . Припустимо також, що на всій множині допустимих рішень досягає кінцевого максимуму , де позначає цільову функцію (7.11).

Квадратичний симплексний алгоритм. Алгоритм включає наступні операції:

Крок 1. Приймемо для i = 1, 2, ..., т у якості вихідного допустимого базисного рішення.

Крок 2. Визначимо напрямки локального поліпшення на основі поточного рішення. Припинимо розрахунки, якщо можливостей поліпшення немає. У супротивному випадку знайдемо оптимальну довжину кроку для обраного напрямку і перейдемо до кроку 3.

Крок 3. Відповідним чином обчислимо нове рішення. Повернемося до кроку 2. Характер алгоритму на будь-якій ітерації можна коротенько описати в такий спосіб. Мається система лінійних обмежень, отримана з (7.12), а також деякі додаткові обмеження, що виникли в процесі виконання попередніх ітерацій. На кроці 1 є тільки т обмежень (7.12), однак на наступних ітераціях загальне число обмежень може доходити до т + п. Цій системі обмежень відповідає набір базисних перемінних, що включають як , так і перемінні , що доповнюють. Небазисні перемінні складаються з інших та , а також з вільних перемінних, введених на попередніх ітераціях.

Докладні вказівки по визначенню напрямку поліпшення на кроці 2 можна сформулювати у такий спосіб:

Критерій I квадратичного симплексного алгоритму. а) Введіть у рішення будь-яку вільну перемінну, якщо відповідна їй часткова похідна цільової функції не дорівнює нулю. б) Якщо всі такі похідні, що відповідають вільним перемінним, дорівнюють нулю, то виберіть для введення в рішення таку перемінну або , для якої відповідна часткова похідна цільової функції є позитивною і найбільшою за значенням. в) Припинить розрахунки, якщо всі часткові похідні для вільних перемінних дорівнюють нулю, а для інших небазисних перемінних непозитивні.

Якщо не вважати зміни формулювань, викликаного нелінійним характером задачі, критерій I квадратичного симплексного алгоритму заснований на тому ж підході, що і критерій I симплексного алгоритму. В обох випадках поліпшення виникає завдяки введенню в рішення однієї небазисної перемінної.

Обчислення оптимальної довжини кроку нагадує критерій II симплексного алгоритму. Частково воно є перевіркою максимально можливого значення обраної небазисної перемінної, при якому не порушується допустимість рішення, тобто виконання обмежень. Однак тут також визначається значення перемінної, вище якого починається зменшення значення цільової функції.

Отже, оптимальна довжина кроку є менша з цих двох величин. Правило її визначення формулюється у такий спосіб:

Критерій II квадратичного симплексного алгоритму. Введіть у рішення обрану небазисну перемінну з таким її значенням, при якому поліпшення значення цільової функції є найбільшим, а допустимість рішення не порушується.

Огляд результатів. Знову розглянемо описаний підхід і спробуємо виявити закладені в нього основні ідеї. Зокрема, відзначимо наступні властивості алгоритму:

A. Як і в симплексному алгоритмі, поліпшення обумовлюється введенням у рішення на кожній ітерації тільки однієї небазисної перемінної.

Б. Як і в симплексному алгоритмі, значення перемінної, що вводиться, не може перевищити рівня, при якому значення будь-якої перемінної, яка входить у поточний базис, зменшується до нуля.

B. Якщо значення цільової функції при русі в обраному напрямку досягає максимуму раніше того моменту, коли хоча б одна базисна перемінна зменшиться до нуля, до (7.12) додається додаткове обмеження.

Г. Вираз, що входить у додаткове обмеження, пропорційно частковій похідній цільовій функції по перемінній, яка вводиться, а отже, є лінійним, оскільки цільова функція квадратична.

Д. Такі обмеження використовуються як допоміжні, щоб полегшити забезпечення оптимальної довжини кроку в обраному напрямку. Надалі вони зможуть розширити базис, тому в оптимальному рішенні позитивні значення можуть включати більше ніж т перемінних.