Розділ 16 пуассонівські системи масового обслуговування розімкнутого типу

1. Загальний підхід до аналізу систем масового обслуговування

2. системи масового обслуговування з відмовами в обслуговуванні

3. системи масового обслуговування з обмеженою чергою чекання

4. системи масового обслуговування з необмеженою чергою чекання

У цьому розділі розглядаються лише методи аналізу СМО, що мають стаціонарні пуассонівські вхідний та вихідний потоки вимог і обслуговувань. Такі СМО в літературі звуться іноді пуассонівськими (найпростішими) СМО (по типу потоків, що розглядаються). Оскільки вхідний та вихідний потоки є пуассонівськими, тобто без післядії, для аналізу найпростіших СМО найбільш придатними є методи аналізу марковських ланцюгів, розглянутих у попередньому розділі. Найпростіші СМО у своїй більшості відповідають процесу „загибелі та розмноження”, що є найбільш поширеною моделлю подібних СМО.

Нагадаємо, що СМО є розімкнутою (відкритою), якщо в ній кількість джерел, що формують вхідний потік вимог на обслуговування не є обмеженою та не залежить від стану СМО. Навпаки, в замкнутих СМО кількість джерел обмежена й зміни у стані СМО суттєво впливають на інтенсивність вхідного потоку. В цьому розділі розглядатимуться тільки розімкнуті СМО.

16.1. Загальний підхід до аналізу систем масового обслуговування

Нехай СМО розімкнутого типу містить п однотипних каналів обслуговування, кожен з яких характеризується експоненціальним розподілом значень часу обслуговування з середнім значенням , що еквівалентно інтенсивності потоку обслуговувань незалежно від типу замовлення, що обслуговується.

При повністю завантажених каналах вимоги на обслуговування можуть чекати у загальній черзі з числом місць чекання m. Дисципліна обслуговування є безпріоритетною (FIFO – First Input First Output). Заявки на вході СМО відносяться до одного з М типів, причому заявки j-го типу ( ) створюють найпростіший потік з інтенсивністю . Очевидно, що в цьому випадку при умові безпріоритетності обслуговування заявок загальний вхідний потік дорівнює

Будемо вважати деякі заявки „нетерплячими”, тобто такими, що перебувають в СМО не більше одиниць часу. Якщо час перебування перевищує ід„п, то заявка покидає СМО необслуженою і вважається втраченою, створюючи цим самим потік втрат СМО. Будемо вважати, що є також випадковою величиною з експоненціальною щільністю розподілу часу перебування f( ) та значенням математичного сподівання . Таким чином, можна говорити, що потік втрат СМО є найпростішим з інтенсивністю . При цьому можливі втрати як з черги чекання, коли , так і з каналу обслуговування, коли . Методично зручніше відрізняти два потоки втрат:

- до моменту початку обслуговування з інтенсивністю ;

- після початку обслуговування з інтенсивністю .

Враховуючи, що момент призначення заявки на обслуговування випадково призначається на інтервалі між сусідніми моментами покидання черги заявками, то відрізок часу як між моментами надходження заявок у чергу та її можливого покидання черги, так і між початком обслуговування й моментом можливого відходу заявки у процесі обслуговування будуть мати однаковий експоненціальний розподіл з математичним сподіванням . Причиною цього явища є властивість відсутності післядії, якою володіють саме найпростіші потоки. Тому вважатимемо, що

Така СМО є досить загальною структурою, з якою можна, прирівнюючи деякі параметри або до нуля, або до одиниці, або до нескінченості, отримати часткові типи СМО, тому отримаємо спочатку загальні формули аналізу СМО, з наступним їх спрощенням для окремих часткових випадків.

Граф станів розглянутої СМО із застосуванням марковського процесу „загибелі та розмноження” представлений на рис. 16.1.

Рис. 16.1. Узагальнений граф станів найпростішої СМО розімкненого типу.

В цьому графі: S₀ – в СМО немає заявок на обслуговування (СМО вільна); S₁ – в СМО є тільки одна заявка, що обслуговується, черги немає; S_n – усі n каналів обслуговування СМО зайняті, але черги немає; S_n+1 – n каналів обслуговування СМО зайняті, одна заявка в черзі чекання; S_n+m – n каналів обслуговування зайняті, m заявок у черзі чекання. В цьому випадку чергова заявка, що надходить в СМО, отримуватиме відмову в обслуговуванні та покидатиме СМО.

Інтенсивність потоку завантаження („розмноження”), що переводить СМО зі стану S_i до стану S_i+1 (верхні стрілки переходів на рис. 16.1) дорівнює інтенсивності вхідного потоку λ, тому що збільшення заявок в системі можливе саме за рахунок вхідного потоку.

Інтенсивність же потоку розвантаження (нижні стрілки переходів на рис. 16.1) міняються в залежності від стану СМО. Якщо обслуговуванням заявок зайнятий будь-який один канал (стан S₁), то інтенсивність потоку розвантаження обслужених заявок плюс інтенсивність втрат в процесі обслуговування , при стані S₂ ця сумарна інтенсивність подвоюється і т.д. до стану S_n. Після цього стану інтенсивність обслуговування і втрат у процесі обслуговування залишається незмінною, але додається складова, що пов’язана з наявністю втрат „нетерплячих” клієнтів у процесі чекання ( ), яка пропорційно зростає по мірі росту черги чекання до m заявок.

Як слідує з рис. 16.1, кількість можливих станів СМО дорівнює (m+n+1) та є зліченною величиною. Переходи з будь-якого стану у будь-який інший є можливими, тому в розглянутій СМО граничний (сталий) режим існує. Використовуючи правило складання системи рівнянь Колмогорова (розділ 15.1) для процесу „загибелі та розмноження”, що зображено на рис. 16.1, отримаємо з урахуванням нормовочного рівняння:

(16.1)

Значення імовірностей кожного зі станів:

(16.2)

(16.3)

Якщо ввести у розгляд – приведену інтенсивність вхідного потоку, яка дорівнює середній кількості вхідних заявок за час обслуговування однієї заявки, а також – приведену інтенсивність втрат одного каналу обслуговування і – те ж саме для потоку втрат з черги чекання, то отримаємо

(16.4)

(16.5)

При цьому імовірність вільного стану СМО (Р₀), що входить в (16.4) та (16.5), визначається за допомогою (16.1) як

(16.6)

В залежності від кількості каналів обслуговування (n), кількості місць чекання у черзі (m), а також інтенсивностей λ, μ, , формули (16.4); (16.5); (16.6) дозволяють визначити граничні (сталі) імовірності будь-якого стану СМО, що функціонує відповідно до схеми „загибелі та розмноження”.

Визначимо деякі показники ефективності роботи СМО.

І. Імовірність відмов в обслуговуванні (Р_відм) визначається як імовірність стану СМО, коли усі канали обслуговування зайняті й немає вільних місць чекання, тобто при S_n+m:

(16.7)

ІІ. Середня кількість каналів ( ), зайнятих обслуговуванням. Ця величина визначається у загальному вигляді як математичне сподівання дискретної випадкової величини K:

(16.8)

ІІІ. Середня кількість заявок у черзі чекання (середня довжина черги) визначається аналогічно:

(16.9)

IV. Середня кількість заявок, що пов'язана з обслуговуванням в СМО

(16.10)

V. Середній час чекання заявки у черзі (t_чек) і перебування заявки в СМО (t_сист):

(16.11)

VІ. Імовірність втрат в СМО (Р_втр) визначається як

(16.12)

де – відповідно імовірності покидання „нетерплячими” заявками черги та покидання ними системи у процесі обслуговування.

Значення визначимо як відношення сумарної інтенсивності покидань заявками системи за час обслуговування, яка дорівнює , до інтенсивності вхідного потоку, тобто

(16.13)

Аналогічно

(16.14)

VІІ. Після визначення імовірності втрат (Р_втр) можна визначити імовірність появи будь-якої заявки, що надійшла до СМО для обслуговування, у вихідному потоці обслужених заявок (імовірність її обслуговування Р_обс)

(16.15)

Ця величина чисельно співпадає з відносною пропускною здатністю СМО, яка також характеризує долю вихідних заявок, що буде обслужена, тобто q = Р_обс.

8. Тоді інтенсивність потоку обслужених заявок (вона ж є також абсолютною пропускною здатністю СМО (А):

(16.16)

Як приклад аналізу СМО із застосуванням вищезазначених формул розглянемо двопроцесорну обчислювальну систему (ОС), на вхід якої надходять заявки на виконання певних розрахунків за допомогою деяких прикладних програм. Кількість джерел вимог на здійснення розрахунків дорівнює 3, інтенсивність вимог, що надходять від кожного джерела: ; ; . Процесори ОС приймаються однотипними, що мають швидкодію опер/с. Обслуговування кожної заявки (тобто проведення відповідних розрахунків) у середньому потребує виконання операцій, при цьому конкретна кількість операцій, необхідна для виконання кожної заявки, змінюється випадковим чином за експоненціальним законом розподілу кількості операцій.

Для збереження заявок, що не можуть бути прийнятими до виконання миттєво, виділена буферна зона пам’яті, де поміщається інформація про чотири заявки. Час перебування заявки в ОС не має перевищувати випадкової величини , що має математичне сподівання = 0,1 с та експоненціальний розподіл часу перебування в буфері. Режим обробки інформації – безпріоритетний. Необхідно визначити імовірності усіх станів ОС у граничному (сталому) режимі, а також основні показники її ефективного функціонування.

Перш за все сформулюємо задачу в термінах СМО. Розглядається багатоканальна розімкнута СМО (n = 2) з відмовами та обмеженням черги чекання (m = 4), з „нетерплячими” заявками з інтенсивністю покидань системи .

Вхідний потік заявок . Потік обслуговування одним процесором (одним каналом) ОС:

.

Рішення.

Визначаємо приведені інтенсивності вхідного потоку і потоків втрат СМО:

Згідно з (13.58) визначаємо імовірність вільного стану СМО:

Р₀=[1+1+0,5+0,5(0,4286+0,1607+0,0536+0,0161)] ^-1  Р₀=0,3534.