Розділ 7 оптимізація при нелінійній цільовій функції

1. Введення у нелінійне програмування

2. Оптимізація нелінійної функції однієї перемінної

3. Максимізація нелінійної функції багатьох перемінних без обмежень

4. Метод найшвидшого підйому

5. Квадратичне програмування

6. Сепарабельне програмування

7. Безпосередня лінеаризація

8. Максимізація опуклої цільової функції

1. Введення у нелінійне програмування

Нагадаємо, що будь-яку оптимізаційну задачу лінійного програмування можна сформулювати в такий спосіб:

Максимізувати (7.1)

при умовах

(7.2)

(7.3)

Читачеві вже приходилося зіштовхуватися з декількома нелінійними варіантами цієї моделі, наприклад із задачами динамічного програмування раніше або ж з комбінаторними моделями, де деякі з повинні приймати тільки цілочисельні значення. До нелінійного програмування звичайно відносять задачі наступного типу:

Максимізувати (7.4)

при умовах (7.5)

де як , так і уявляють собою дійсні, нелінійні, однак регулярні функції п дійсних перемінних. Власне кажучи (7.4) – (7.5) можна розглядати як канонічну форму задачі нелінійного програмування, оскільки деякі методи дозволяють інтерпретувати оптимізацію як „максимізацію”, а обмеження – як нерівності, знак яких визначається (7.5). Обмеження незаперечності перемінної X_j також можуть бути включені в (7.5) у вигляді Зазвичай у „задачах нелінійного програмування” не висувається вимога цілочисельності перемінних.

У більшості випадків нелінійності, які необхідно відобразити в моделях, відносяться до однієї з двох категорій:

I) співвідношення, що емпірично спостерігаються, такі, як непропорційні зміни витрат, виходу продукції, показників якості;

II) структурно отримані співвідношення, до яких відносяться постульовані фізичні явища, а також виведені математично або встановлені керівництвом правила поведінки.

Очевидно, чітке розмежування цих двох категорій неможливо, оскільки при наявності достатніх даних можна вивести структурне співвідношення, що лежить в основі явища, яке емпірично спостерігається.

Прикладом I) може служити той випадок, коли на підприємстві протягом ряду років приріст випуску продукції відстає від росту витрат праці, тоді як темпи росту кількості відходів його випереджають. Прикладом II) є фірма, що повинна оплатити рахунок за електроенергію у випадку, коли розрахунки ведуться по нелінійній формулі, що враховує як середньодобові витрати, так і „пікову” потребу в енергії. У даному випадку фірма одержує дані про нелінійний характер витрат з договору про ставки оплати, укладеного з компанією, що забезпечує енергопостачання.

Нелінійність „вбудовується” у моделі програмування та в інших випадках, наприклад, у наступних:

1. Приготування бензинових сумішей. У моделі приготування бензину визначеного складу з окремих фракцій, отриманих у результаті перегонки нафти, зазвичай є нелінійне обмеження на октанове число суміші, оскільки ця характеристика якості нелінійно залежить від кількості додається до суміші тетраетилового свинцю.

2. Керування виробничим процесом. У моделі металургійного заводу значення перемінної, що характеризує температуру в доменній печі, може бути описано функцією від іншій перемінній, відповідній кількості необхідного тепла і часових показників процесу. У свою чергу, кожна з цих перемінних входить в інші обмеження, а також у цільову функцію.

3. Виручка від реалізації продукції. Попит на продукцію компанії може істотно залежати від цін реалізації: чим нижче ціна продукту, тим більше обсяг реалізації, незважаючи на аналогічне зниження цін конкурентів. Отже, виручка від реалізації продукції не змінюється пропорційно ціні, і ця обставина повинна бути відображена в цільовій функції багатопродуктової моделі за допомогою нелінійного складового.

4. Розмір багатопродуктового замовлення. У моделях керування запасами число продуктів було дорівнює одному. Однак нерідко оптовий покупець поповнює свої запаси, замовляючи в одного й того ж постачальника одночасно кілька видів продукції. Тим самим досягається економія на транспортних витратах, витратах по оформленню документації та знижці на розмір замовлення, наданої постачальником. Ця ситуація може розглядатися на основі використання моделі математичного програмування великої розмірності, в якій витрати на поповнення запасів є нелінійною функцією декількох перемінних – розмірів замовлень окремих продуктів.

5. Рівень страхових запасів. У більшості моделей математичного програмування, використовуваних для загально фірмового планування, тривалість відрізків планового періоду рідко складає менше трьох місяців і часто перевищує рік та більше. У таких динамічних, „багатоперіодних” моделях зазвичай передбачається умова наявності страхових запасів, що повинні виконувати роль компенсатора коливань щотижневого обсягу реалізації.

У цих моделях застосовується, зокрема, такий підхід: рівень страхового запасу передбачається залежним як від прогнозованого обсягу реалізації, так і від ступеня використання виробничих потужностей, обумовленого цим прогнозом.

6. Розподіл зусиль. Передбачається цілочисельність керуючих перемінних, а число обмежень зводиться до одного або двох, так щоб підхід динамічного програмування виявився реалізованим з обчислювальної точки зору. Якщо виключити умову цілочисельности перемінних, то для рішення задачі розподілу зусиль може бути також застосована нелінійна модель. При цьому можливим є використання методів нелінійного програмування, реалізованих з обчислювальної точки зору навіть у тому випадку, коли число обмежень набагато перевищує два.

7. Імовірнісні елементи. Нелінійність часто виникає у тому випадку, коли коефіцієнти моделі математичного програмування розглядаються як випадкові величини.

8. Вибір портфеля цінних паперів. Фахівці з фінансового аналізу, що працюють у банках і страхових компаніях, приділяли чималу увагу розробці математичних моделей, що допомагають визначити найкращий набір акцій, облігацій та інших цінних паперів на виділену суму. Такими моделями враховується оцінка як очікуваного прибутку від придбання пропонованого набору паперів, так і пов’язаного з цим ризику або імовірнісного коливання реальних значень прибутку.