16.2. Системи масового обслуговування

з відмовами в обслуговуванні

Особливістю транспортних СМО є такий режим роботи, за якого заявки, що надійшли для обслуговування, залишаються в СМО до повного обслуговування (необхідність заправки автомобілів на АЗС, необхідність ремонту на СТО, призначення до завантаження та розвантаження у визначених пунктах і т.д.).

Іншими словами, для транспортних СМО більш характерним є режим „терплячого” чекання в черзі, якщо за умовами СМО заявка не отримає відмови на момент прибуття в СМО. Умова відсутності „нетерплячих” клієнтів в транспортних СМО приводить до того, що при визначенні імовірностей кожного стану СМО за допомогою узагальненої методики аналізу, що була визначена у попередньому розділі, необхідно прийняти та (або та ), що значно спрощує отримані формули для аналізу. Враховуючи це, розглянемо найбільш поширені СМО розімкнутого типу, що застосовуються на транспорті, які не мають втрат заявок в черзі чекання, а також у процесі обслуговування.

Але, незважаючи на „терпіння” заявок, у ряді СМО мають місце відмови в обслуговуванні, пов’язані з обмеженими можливостями механізму обслуговування. Насамперед, розглянемо СМО саме такого типу.

СМО з відмовами та відсутністю черги чекання. Спочатку розглянемо одноканальну СМО з вказаними властивостями. Її прикладом може служити телефонне бюро замовлень на транспортні перевезення, обладнане лише одним телефоном. Якщо телефон є зайнятим прийомом замовлення, то будь-яка інша заявка отримає відмову в з’єднанні з бюро замовлень і покине бюро необслугованою. При повторному виклику вона може знайти телефон бюро замовлень вільним і буде обслужена, або знову отримає відмову, якщо він є зайнятим. Відмітимо, що цей режим існує лише при умові, що в СМО не передбачено буфер пам’яті, де послідовно накопичувались би у черзі телефонні виклики, що надійшли у СМО. Це вже інший тип СМО.

Нехай середня інтенсивність вхідного потоку заявок λ (од.часу)^-1. Середня тривалість обслуговування однієї заявки (в прикладі, що розглядається, – середня тривалість прийому замовлення по телефону). Потоки заявок та обслуговувань – найпростіші, що дає змогу стверджувати, що інтенсивність потоку обслуговувань .

Подібна СМО має лише 2 стани: S₀ – СМО вільна; S₁ – СМО зайнята, при цьому наступна заявка отримає відмову в обслуговуванні. Граф станів такої системи ми вже розглядали (див. рис. 15.3) при поясненні роботи марковського ланцюга „загибелі та розмноження” і отримали диференційні рівняння Колмогорова для опису зміни станів СМО. Як було показано раніше, граничний (сталий) режим визначатиметься при підстановці (t→∞) у систему рівнянь Колмогорова.

Як вже відмічалось, граничний режим існуватиме, якщо кількість можливих станів обмежена, а також можливими є усі переходи з одного стану до інших. Для СМО, що розглядається, ця умова виконується, тому можна для визначення імовірностей сталого режиму використовувати безпосередньо формули Колмогорова, що на практиці можуть бути сформульовані мнемонічне наступним чином:

„скільки входить в стан, стільки і виходить з даного стану”, маючи на увазі – „те, що входить в стан S_i”, а також – „те, що виходить зі стану S_i”.

Тоді вказане мнемонічне правило дозволяє записати рівність:

,

де k – стани, з яких є стрілки переходів до S_i, m – стани, до яких є стрілки переходів з S_i.

У випадку, що розглядається, (рис. 15.3) матимемо

(16.17)

При додаванні нормовочного рівняння матимемо:

(16.18)

що повністю співпадає з результатами, отриманими за допомогою рівнянь Колмогорова в розділі 14.

Решта характеристик режиму роботи одноканальної СМО з відмовами та відсутністю черги визначається наступним чином:

1) Відносна пропускна здатність

(16.19)

2) Абсолютна пропускна здатність (це є також інтенсивність потоку обслуговувань)

(16.20)

Слід зауважити, що в СМО з відмовами завжди , де – пропускна здатність каналу обслуговування. Це пояснюється тим, що при реальних вхідних потоках певний час СМО знаходиться у вільному стані й обслуговування не має місця, в той час як μ передбачає надходження заявки саме в термін закінчення обслуговування попередньої, тобто в СМО при цьому вільного стану не передбачається.

3) Середній час обслуговування (з урахуванням можливого вільного стану СМО)

(16.21)

4) Середній час перебування заявки в СМО

(16.22)

Розглянемо далі багатоканальну СМО (n > 1) з відмовами та без черги чекання (m = 0). Граф станів такої СМО представлений на рис. 16.2, де S₀ – вільний стан СМО; S₁ – зайнято один будь-який канал обслуговування з n існуючих; S₂ – зайнято два будь-яких канали; ... S_n – зайняті усі n каналів обслуговування. Якщо СМО в стані S_n, то наступна заявка отримає відмову та покине СМО необслугованою. Потік завантаження СМО (що викликає переміщення від S_і до S_і+1) чисельно дорівнює λ (тобто кожна заявка викликає збільшення номеру стану S_і). Потік розвантаження, на відміну від загального випадку (рис. 16.1) буде залежати лише від кількості каналів, що зайняті обслуговуванням: при S₁ – це інтенсивність потоку розвантаження одного каналу ; при S₂ – відповідно 2μ; при S_n – nμ (при умові відсутності нетерплячих клієнтів , тобто ).

Рис. 16.2. Граф станів багатоканальної СМО з відмовами та відсутністю черги чекання

З урахуванням (16.4), (16.5) та (16.6) при n > 1 та m = 0 матимемо формули для розрахунків кожного зі станів (їх називають часто формулами Ерланга):

(16.23)

(16.24)

Аналогічно визначаємо імовірність відмови в обслуговуванні

(16.25)

а також імовірність обслуговування (вона ж є також і відносною пропускною здатністю СМО)

(16.26)

Решта характеристик ефективності режиму роботи СМО, що розглядається:

- абсолютна пропускна здатність СМО:

; (16.27)

як і в попередньому випадку, ;

- середня кількість зайнятих каналів:

(16.21)

- середній час перебування заявки в СМО (середній час обслуговування заявки):

(16.29)

Системи масового обслуговування з відмовами при великій кількості каналів обслуговування. Подібні задачі виникають, як правило, при аналізі роботи автостоянок зі значною (але обмеженою) кількістю місць стоянок, при аналізі роботи гаражів загального користування та ін.

У загальному випадку можливо безпосереднє застосування формул, що наведені в попередньому розділі, але велике значення n досить ускладнюють проведення розрахунків.

При великих значеннях n доцільно використовувати табульовану функцію розподілу Пуассона

(16.30)

а також її інтегральну функцію

(16.31)

що мають взаємний зв’язок у вигляді

(16.32)

Значення функції приведені в додатку 1, значення ж функції може бути знайдено за допомогою функції , приведеної в додатку 2, наступним чином:

(16.33)

Примітка: якщо число в таблиці не має ступеня, то їм буде показник ступеня найближчого числа, що розташоване вище. Наприклад: (33;19) = l,2067∙10^-3.

Використовуючи та , імовірності будь-якого стану СМО з відмовами при відсутності черги (див. формули 16.23 і 16.24) можуть бути представлені у вигляді

(16.34)

які дозволяють визначити імовірність будь-якого стану СМО з відмовами за допомогою таблиць додатків 1 і 2 при застосуванні додатка 1 замість m значення k (номеру шуканого стану) та ρ замість а. Аналогічно для додатку 2: спочатку розшукується по таблиці , потім розраховується й отримані значення та застосовуються в (16.34) для розрахунків . При значеннях n, більших зазначених в додатку 2, можна прийняти ≈ l.

Решта розрахункових формул, що визначають показники роботи СМО з відмовами ( , q, А та ін.) залишаються незмінними.

Застосування ПК при аналізі систем масового обслуговування з відмовами. Завершуючи розгляд СМО з відмовами та відсутністю черги чекання, наведемо деякі програми для ПК, що дозволяють автоматизувати процес розрахунків подібних СМО.

1) Спеціалізована програма SMOVIDM, що розроблена на кафедрі Транспортних систем та маркетингу Національного транспортного університету за участю авторів даного підручника. Після введення вхідних даних про λ, та n програма проводить необхідні розрахунки усіх імовірностей станів (від до ) із застосуванням вищезазначених формул, а також усі вищезгадані характеристики ефективності режиму СМО.

2) З метою здійснення розрахунків СМО з відмовами на основі універсальних програмних продуктів ПК наведемо програму „СМО з витратами”, розроблену в НТУ [15] із застосуванням системи „MATHCAD” (версії 5 та вище), яка дозволяє здійснювати розрахунки на будь-якому ПК, де встановлено „MATHCAD”.

Нижче наводиться текст програми (PROG_1) з результатами розрахунків для СМО, що має n = 3; λ=0,8 (хв)^-1, =1,5 хв:

Великою перевагою системи „MATHCAD” є застосування звичайної мови формул, що значно полегшує їх читання. Особливістю є те, що формули необхідно записувати строго в порядку застосування, тобто змінна, що використовується у формулі, має бути визначеною раніше по тексту програми. В супротивному випадку невизначена змінна з’являється написаною червоним кольором. У програмі застосовується символ (:=), що означає символ присвоювання. Якщо застосовується символ (=), то після нього з’являється тільки результат розрахунків по формулі, визначеній за допомогою відповідного символу (:=).

Особливістю даної програми є також застосування при розрахунках Р_k методу рекурсії, який полягає у тому, що значення обчислюється через її попереднє значення Р_k-1, тобто , де є імовірність переходу з S_k-1 у S_k. Значення спочатку приймається рівним 1. Обчислюючи Р_k; при , одночасно знаходимо суму за допомогою якої одержуємо .