5.4. Електропровідність напівпровідників і металів

Дрейф електронів у кристалі викликає появу в ньому електричного струму, густина якого

. (5.11)

Згідно із законом Ома у диференціальній формі, це означає, що питома електропровідність кристалу, носіями струму в якому є електрони,

, (5.12)

а у випадку діркової провідності, –

. (5.13)

Електропровідність напівпровідника визначається сумарним зарядом, перенесеним електронами і дірками, тому

, (5.14)

однак при температурах нижчих T_i може переважати провідність тільки одного (n або p) типу.

Значення часу релаксації електрона і дірки, очевидно, відрізняються навіть у одному і тому ж напівпровіднику, так що у випадку властивої провідності

.

Вважаючи, що в області низьких температур рухливості носіїв пропорційні до Т³ (з коефіцієнтами пропорційності A_e,h), одержуємо

. (5.15)

При малих значеннях температур таких, що k_BT << E_g функція змінюється із зміною Т значно сильніше, аніж Т³. Тому, позначивши множник перед експонентою в (5.15) символом σ₀, можна записати

, (5.16)

де σ₀ – слабко залежна від температури величина.

В області високих температур рухливості носіїв пропорційні до Т^-3/2, так що σ₀ стає точно постійною величиною. Отже, формула для визначення температурної залежності властивої електропровідності напівпровідника має вигляд (5.16) для будь-яких температур. Графік цієї залежності наведений схематично на рис. 5.3 (ділянка, що відповідає T > T_i).

Опір напівпровідника обернено пропорційний його електропровідності і, відповідно до (5.16), експоненціально спадає при збільшенні температури:

, (5.17)

де R₀ – практично постійна величина.

Для напівпровідників з домішковою провідністю, наприклад n-типу, питома електропровідність також експоненціально залежить від температури при T < T_s:

, (5.18)

де σ_0n – також слабко залежна від температури величина. При T_s < T < T_i електропровідність зменшується при зростанні температури, оскільки в цій області концентрація електронів у зоні провідності не збільшується, а розсіювання на фононах зростає.

Графік залежності σ_n від температури наведений схематично на рис. 5.3 (ділянка, що відповідає T < T_i). Зауважимо, що графік залежності lnσ від 1/T має вигляд прямої, з кутовим коефіцієнтом –E/(2k_B), де E = E_g у випадку властивої провідності, а для домішкової E = E_d.

Рис. 5.3. Температурна залежність електропровідності напівпровідника (крива σn відповідає області домішкової, а σі – властивої провідності)

У випадку металів концентрація електронного газу не залежить від температури. Тому температурна залежність електропровідності визначається змінами рухливості. У кристалах високої чистоти (без домішок і дефектів) рухливість електронів аж до області низьких температур визначається їх розсіюванням на фононах, тобто μ ~ 1/T. Відповідно і електропровідність металів виявляється обернено пропорційною до абсолютної температури, а опір – лінійно зростає при збільшенні температури. Відома формула

, (5.19)

описує температурну залежність питомого опору металу. Тут t – температура у шкалі Цельсія, α – температурний коефіцієнт опору, а ρ₀ – значення опору при 0 °С.

Рис. 5.4. Температурна залежність електропровідності провідника (горизонталь-на ділянка відповідає області залишкового опору) Увага! Зрізано позначення біля вертикальної осі - σ

В області низьких (близько T_D) температур концентрація фононів пропорційна до Т³, тому довжина вільного пробігу електронів, обумовлена їх розсіюванням на фононах, пропорційна до Т^-3. При цих температурах середній імпульс фононів дуже малий порівняно з імпульсом електронів, які рухаються з швидкістю υ_F. Тому для суттєвої зміни імпульсу електрона, що приведе до зміни напрямку його руху, потрібна взаємодія не з одним, а з більшою кількістю фононів. Виконані в рамках квантової теорії розсіювання розрахунки показують, що кількість фононів, необхідних для ефективного розсіювання електрона, залежить від температури кристалу – пропорційна до Т^-2. З цієї причини ефективна середня довжина вільного пробігу і, відповідно, рухливість електронів, а тому й електропровідність металу виявляються пропорційною до Т^-5. Отже, в області низьких температур питомий опір металів змінюється пропорційно до Т⁵.

При T → 0 концентрація фононів настільки мала, що довжина вільного пробігу електрона стає сумірною з розмірами кристалу. Це мало би означати, що електропровідність металу поблизу абсолютного нуля температур стає надзвичайно великою, а опір – практично відсутній. Насправді ж, як показують експериментальні вимірювання, опір металів не зникає при T → 0, а наближається до деякої постійної величини – залишкового опору. Існування залишкового опору пояснюється розсіюванням на дефектах ґратки, яке при T → 0 стає найімовірнішим. Внесок цього механізму розсіювання у рухливість і, відповідно, електропровідність визначається тільки концентрацією дефектів, а тому постійний для кожного кристалу.

Залежність електропровідності твердого тіла від його температури використовується для виготовлення терморезисторів. Зазвичай терморезисторами називають пристрої, здатні істотно змінювати свій опір при зміні температури. Однією з основних характеристик терморезистора є його температурний коефіцієнт опору – величина

, (5.20)

що має зміст відносної швидкості зміни опору при зміні температури.

Згідно з уявленнями про природу електропровідності напівпровідників, температурний коефіцієнт опору терморезистора, побудованого на його основі,

(5.21)

від’ємний (тут В – постійна, значення якої визначаються властивостями напівпровідника). Для виготовлення терморезисторів з від’ємним температурним коефіцієнтом опору (їх називають термісторами) використовують суміші окислів перехідних металів (наприклад, Mn, Со, Ni, Cu); Ge і Si з різними домішками; карбід кремнію (SiC); напівпровідникові сполуки елементів III і V груп; синтетичний алмаз; органічні напівпровідники і т.д.

Існують також терморезистори з додатним температурним коефіцієнтом опору (їх називають позисторами). Їх виготовляють на основі титанату барію BaTiO₃ з домішками лантану, церію, вісмуту, або кремнію з домішками бору. Вказані сполуки при досягненні певної температури здатні змінювати свої електричні властивості – переходять у фазу сегнетоелектриків. В області температури фазового переходу їх опір різко зростає, що й забезпечує додатні значення α.

Терморезистори використовують для створення систем і пристроїв дистанційного і централізованого вимірювання або регулювання температури, протипожежної сигналізації і теплового контролю, температурної компенсації різних елементів електричних кіл, вимірювання вакууму та швидкості протікання рідин і газів, а також вимірювачів потужності.