Розділ 5. Явища переносу вільних носіїв заряду у кристалах

5.1. Теплоємність електронної системи металів і напівпровідників

Електронний газ у кристалі в першому наближенні розглядають як ансамбль майже вільних, не взаємодіючих між собою, подібно до молекул ідеального газу, квазічастинок – електронів, що знаходяться у постійному тепловому русі. Тому вони, як і фонони, повинні брати участь у процесах теплопередачі. Це означає, що теплоємність кристалу С можна подати у вигляді суми теплоємностей ґратки (системи атомних залишків, що коливаються навколо положень рівноваги) С_гр і електронного газу (виродженого у металах і не виродженого – у напівпровідниках) С_ел. При цьому молярна теплоємність металів при високих температурах мала би становити якнайменше 6R, а це суперечить експериментально встановленим закономірностям – законам Дюлонга-Пті і “Т ³”.

Для вияснення причини малого впливу електронного газу у теплоємність металу необхідно згадати, що він є виродженим. Це означає, що при будь-якій температурі кристалу практично усі енергетичні стани аж до рівня Фермі заселені електронами. Отже, зазнавати термічного збудження (поглинати енергію при нагріванні кристалу, здійснюючи перехід на більш високий рівень) можуть тільки ті з них, які розміщені близько до рівня Фермі у інтервалі шириною k_BT. Оскільки при кімнатних температурах ця величина становить не більше 0,025 еВ, то змінювати енергію при нагріванні кристалу може лише невелика частка електронів.

Для оцінки цієї кількості, будемо вважати, що енергетичні рівні розподілені по зоні провідності рівномірно. Тоді можна стверджувати, що частка електронів, що зазнають термічного збудження при досягненні температури Т, становить величину k_BT/μ, а кожний з них володіє енергією 3k_BT/2. Якщо в зони провідності міститься N електронів, то енергія збудженої їх частини становить величину Е_ел = 3N(k_BT)²/(2μ), а теплоємність електронного газу – С_ел = 3Nk_B(k_BТ/μ). Беручи до уваги, що при кімнатних температурах k_BT/μ ≈ 0,005, а молярна теплоємність ґратки С_{μ гр} = 3R, знаходимо молярну теплоємність одновалентного металу С_μ = С_{μ гр} + С_{μ ел} = 1,005С_{μ гр.} ≈ С_{μ гр}.

Результатом більш строгої теорії теплоємності електронного газу є вираз

, (5.1)

що при кімнатній температурі також дає С_μ = 1,01С_{μ гр.} ≈ С_{μ гр}. Отже, в обох випадках одержується однаковий результат – теплоємність електронного газу не перевищує відсотка від величини теплоємності ґратки металу. Причиною цього є надзвичайно мала кількість електронів виродженої системи, що можуть брати участь у тепловому русі.

Зауважимо також, що в області низьких температур теплоємність електронної системи змінюється лінійно, а ґратки – пропорційно до Т ³. Тому при T < T_D теплоємність електронного газу більша ґраткової.

У напівпровідниках вільні носії заряду утворюють невироджений газ. Проте внаслідок малих концентрацій у напівпровідниках n- або p-типу, їх внесок у теплоємність кристалу також незначна. Така ситуація зберігається до появи властивої провідності напівпровідника, коли концентрація електронів і дірок істотно зростає, що спричиняє зростання їх внеску у теплоємність кристалу. Особливо великим він є при температурах, близьких до температури плавлення, де електронна теплоємність становить істотну частину теплоємності кристалу.