5.2. Рух вільних носіїв заряду в зовнішньому електричному полі

Характеристики руху кожного електрона (швидкість, переміщення) у будь-який момент часу визначаються його взаємодією з атомами ґратки, що хаотично коливаються біля положень рівноваги та дефектами, розміщення яких у ґратці зазвичай невпорядковане. Зазвичай процеси розсіювання спрощено уявляють як послідовність випадкових зіткнень електрона з дефектами ґратки або фононами. В результаті цього він випадковим чином змінює свій імпульс (напрям і, можливо, швидкість руху) та, у випадку не пружного зіткнення, – енергію. Тому за відсутності зовнішніх сил електрони рухаються хаотично, а середня швидкість їхнього поступального руху в будь-якому напрямку дорівнює нулю.

Зовнішнє електричне поле, діючи на електрон з силою , прискорює ті з них, що рухаються протилежно до напрямку . Рух електронів, швидкість яких збігається за напрямком з вектором напруженості поля, а – уповільнюється. В результаті порушується симетричність розподілу електронів за компонентами вектора швидкості – з’являється відмінна від нуля середня швидкість поступального руху в напрямку, протилежному до . Такий рух, подібний до руху за течією, називають дрейфом. Середня швидкість такого руху називається дрейфовою.

Оскільки дрейф здійснюють заряджені частинки – електрони, то має місце спрямоване перенесення заряду – у кристалі протікає електричний струм. У випадку створення умов для появи властивої провідності напівпровідника, струм в ньому забезпечується дрейфом електронів і, у протилежному напрямку, – дірок.

Напрямленому рухові вільних носіїв заряду у кристалах перешкоджає розсіювання – після кожного акту зіткнення з розсіюючим центром він змінює напрямок і швидкість руху. Тому при вимкненні електричного поля дрейф носіїв припиняється, їх рух знову стає рівноважним – хаотичним. Відповідно, зникає й електричний струм.

Значення дрейфової швидкості можна знайти на основі класичних уявлень як середню швидкість рівноприскореного руху

, (5.2)

де a = eE/m^* – прискорення квазічастинки в електричному полі; τ – середній час її вільного пробігу між двома послідовними актами розсіювання, його можна оцінити як відношення середньої довжини вільного пробігу до середньої швидкості теплового руху. Отже, дрейфова швидкість

. (5.3)

Як уже зазначалося, наведені міркування ґрунтуються на найпростішій моделі електронного газу (електрони – молекули ідеального газу) та механізмів його взаємодій з фононами або домішками (механічні зіткнення) та зовнішнім полем (прискорення кожного електрона під дією кулонівських сил). Адже, уявлення про індивідуальність електрона у кристалі уже є наближенням. Більш строго процеси взаємодії електронної системи з зовнішнім полем описуються так званим кінетичним рівнянням Больцмана, яке являє собою аналог відомого в електродинаміці рівняння неперервності

у фазовому просторі координат та імпульсів (тут - густина струму, а ρ – заряду).

Кінетичне рівняння описує зміни функції розподілу електронів за швидкостями під впливом зовнішніх полів і процесів розсіювання. Як показує його аналіз, наявність зовнішнього електричного поля, паралельного до вісі Ox, спричиняє зсув щільності розподілу електронів за компонентою вектора швидкості υ_x в напрямку діючої сили (рис. 5.1). Величина зміщення і є дрейфовою швидкістю υ_др.

Після вимкнення зовнішнього поля закон розподілу повертається до рівноважного внаслідок розсіювання електронів. Цей процес називається релаксацією і відбувається він з певною скінченою швидкістю, що залежить від того в якому кристалі, на якій кількості і яких центрів розсіюються електрони. Внаслідок релаксації електронів їх дрейфова швидкість зменшується за експоненціальним законом

Рис. 5.1. Зсув закону розподілу електронів за швидкостями у зовнішньому електричному полі

, (5.4)

де t – проміжок часу, що пройшов з моменту вимкнення поля, υ_др(0) – величина дрейфової швидкості у момент вимкнення, τ_рел – час релаксації, – величина, що характеризує швидкість переходу системи у рівноважний стан (за час t = τ_рел дрейфова швидкість зменшується у е раз).

З розв’язку кінетичного рівняння Больцмана для електронної системи кристалу в зовнішньому електричному полі випливає, що дрейфова швидкість визначається формулою

, (5.5)

подібною до (5.3). Порівняння цих двох формул свідчить, що час релаксації у кінетичній теорії і середній час вільного пробігу у найпростішій класичній теорії мають відіграють однакову роль.

Усе сказане вище стосовно вільних електронів у досконалому напівпровіднику узагальнюється і на випадок носіїв іншого типу в ньому – дірок, а також на випадок носіїв у кристалах з електронною або дірковою провідностями.

Також можна стверджувати, що величина дрейфової швидкості носіїв визначається чинниками як внутрішніми (типом носія – електрон і дірка мають, здебільшого, різні ефективні маси; типом кристалу – значення m^* і τ_рел визначаються його параметрами; типом центрів розсіювання – значення τ_рел різні при розсіюванні на фононах різних мод, дефектах різного роду), так і зовнішніми (напруженістю електричного поля та температурою кристалу – вона визначає середню швидкість теплового руху, а отже, і значення τ_рел).