5.3. Залежність рухливості носіїв від температури

Формулу (5.5) можна подати і у вигляді

, (5.6)

де

(5.7)

– не залежна від характеристик зовнішнього поля величина, яка називається рухливістю носія заряду, вимірюється в одиницях м²∙В^-1∙с^-1 і має зміст дрейфової швидкості, якої набуває носій у полі з напруженістю 1 В/м.

Як показують вимірювання, виконані в германії при кімнатних температурах, рухливість електронів μ_е = 0,39 м²∙В^-1∙с^-1. Середня швидкість теплового руху

електронів у такому кристалі при Т = 300 K становить величину 2,25∙10⁵ м/с , а дрейфова, при напруженості 1 В/м, – 0,39 м/с. Поклавши в (5.12) m_e^* = 0,23m₀, отримуємо величину часу релаксації електронів у цьому кристалі τ_рел ≈ 5∙10^-13 с і оцінку середньої довжини вільного пробігу електрона = 1,12∙10^-7 м, що у сотні раз перевищує міжатомну відстань.

Рухливість носіїв визначається величиною часу їх релаксації, яка, взагалі кажучи, залежить від їх енергії. Тому ця величина повинна усереднюватись по системі носіїв, причому по-різному, залежно від ступеня її виродженості.

У процесах розсіювання виродженого електронного газу можуть брати участь тільки частинки з енергією, близькою до енергії Фермі, тому рухливість визначається часом релаксації саме таких електронів:

, (5.8)

де l_F і υ_F, відповідно, – довжина вільного пробігу і швидкість руху квазічастинок.

У випадку невиродженого газу ступінь заповнення зон вільними носіями мала, а тому рух кожного з них можна вважати незалежним від руху інших. Тоді рухливість визначається значеннями довжини вільного пробігу та швидкості, усередненими по усьому ансамблю квазічастинок:

. (5.9)

При цьому в обох випадках довжина вільного пробігу і швидкість теплового руху визначаються значенням температури кристалу. Отже, й рухливість є функцією температури. Встановити явний вигляд цієї функції в загальному випадку неможливо, оскільки відповідальними за розсіювання процеси, вплив яких різний при різних температурах. Можна проаналізувати крайні випадки низьких (T < T_D) і високих (T > T_D) температур.

В області низьких температур концентрація фононів надзвичайно мала, тому найімовірнішою причиною розсіювання електрона у кристалі є їх взаємодія з дефектами ґратки. Найчастіше це – розсіювання електрона позитивно або негативно зарядженим іоном домішкового атома. Розсіювання полягає в тому, що, пролітаючи повз домішковий центр, електрон відхиляється від попереднього напрямку руху. Величина кута відхилення залежить від швидкості електрона і його відстані до центра розсіювання. Оскільки названі величини – випадкові, то кут розсіювання, а відповідно, і довжина вільного пробігу електрона – випадкові величини. Середнє значення останньої можна оцінити, використавши формулу, виведену Резерфордом для аналізу процесів розсіювання α-частинок на ядрах атомів

, (5.10)

де N_i – концентрація іонів, заряд яких становить Ze; m і υ – відповідно, маса і швидкість частинки; ε – діелектрична проникність матеріалу. Така оцінка дозволяє стверджувати, що середня довжина вільного пробігу електрона пропорційна до четвертого ступеня середньої швидкості теплового руху. Відповідно, рухливість електронів при низьких температурах пропорційна до третього ступеня цієї величини і не залежить від температури у випадку виродженого електронного газу (μ ~ υ_F³) та пропорційне до T^3/2 – у випадку невиродженого.

Ефективність розсівання електронів нейтральними домішками значно менша, ніж іонізованими. Однак повністю нехтувати ним неможливо, особливо в області дуже низьких температур (T << T_s), коли більша кількість домішкових атомів нейтральна. Вказане розсіювання можливе внаслідок одного з двох процесів: прямого пружного зіткнення або обмінної взаємодії, яку грубо можна трактувати як обмін місцями вільного електрона і локалізованого на домішковому рівні. Час релаксації розсіювання на нейтральних домішках виявляється незалежним ні від температури, ні від енергії електрона провідності, а визначається тільки ефективною масою носія, концентрацією та типом домішкових атомів.

В області високих температур концентрація фононів настільки велика, що переважаючим є розсіювання електрона на коливаннях ґратки. Як свідчать результати квантової теорії розсіювання, найефективніше воно відбувається внаслідок взаємодії електронів з акустичними фононами. При цьому довжина вільного пробігу електрона виявляється незалежною від його енергії, а визначається тільки концентрацією фононів – обернено пропорційна до неї. Оскільки при високих температурах остання пропорційна до Т, то незалежно від ступеня вродженості електронного газу довжина вільного пробігу пропорційна до 1/T. Отже, при (T > T_D) μ ~ 1/T для виродженого і μ ~ 1/T^3/2 – для невиродженого електронного газу.

Для проміжних температур (T ≈ T_D) суттєвими будуть процеси розсіювання як на домішках, так і на фононах, внесок яких по-різному впливає на рухливість. Результуюча дія цих процесів приведе до того, що залежність μ(Т) у невиродженому напівпровіднику буде характеризуватись наявністю максимуму, положення і висота якого визначається концентрацією домішки (рис. 5.2, а). Хід температурної залежності рухливості виродженого електронного газу схематично показаний на рис. 5.2, б.

а)	б)
Рис. 5.2. Температурна залежність рухливості електронів провідності у невиродженому (а) та виродженому (б) газі (крива 1 відповідає меншим, а 2 – більшим концентраціям домішки)

Увага! Відсутня вертикальна вісь на рис а)

Спотворення кристалічної ґратки, викликані дислокаціями, спричиняють появу неоднорідності електричного поля, створеного її атомами. Це також може бути причиною розсіювання вільних носіїв. Розрахунки показують, що час релаксації електрона на дислокації виявляється обернено пропорційним до його швидкості, а його величина – на три порядка менша величини часу електрон-фононної релаксації. Тому (за винятком кристалів без домішкових атомів при T << T_D) розсіюванням на дислокаціях можна нехтувати.

Іншим механізмом розсіювання, що може мати місце в напівпровідниках, зона провідності яких має не єдиний мінімум енергії у зоні Бріллюена, є так зване “міждолинне розсіювання“ – явище переходу електрона з одного мінімуму в інший. Такі переходи потребують значних змін квазіімпульсу електрона, можливих тільки внаслідок його взаємодії з високоенергетичним фононом, а тому, за винятком випадку дуже високих температур, малоймовірні.

Уже зазначалося, що при високій густині електронного газу можлива реалізація механізму електрон-електронного розсіювання. Проте, як показують розрахунки, навіть у випадку сильно вироджених напівпровідників і металів внесок електрон-електронного розсіювання у значення рухливості залишається неістотним порівняно з впливом інших механізмів.