Розділ 4. Статистика вільних носіїв заряду у кристалах

4.1. Розподіл носіїв за енергією

Нескладно переконатися в тому, що у стані термодинамічної рівноваги одноелектронні стани, аналогічно до фононних, нерівномірно розподілені за значеннями їх енергії. Дійсно, у наближенні ефективної маси енергія електрона у зоні внаслідок квантування компонент хвильового вектора

, ,

(тут L_x∙L_y∙L_z∙= Ω – об’єм кристалу, а n₁, n₂, n₃ – цілі числа) визначається формулою

, (4.1)

де для простоти покладено L_x = L_y = L_z = L, а номер рівня у зоні n визначається комбінацією значень квантових чисел (n₁, n₂, n₃). Значення енергії ε₁ = h²/2m^*L² досягається при шести комбінаціях квантових чисел: (±1, 0, 0), (0, ±1, 0), (0, 0, ±1), наступне значення, ε₂ = h²/m^*L², – при дванадцяти: (±1, ±1, 0), (±1, 0, ±1), (0, ±1, ±1), а ε₃ = 3h²/2m^*L² – при дев’яти і т.д. Отже, рівні ε₁, ε₂ і ε₃ – шести-, дванадцяти- та дев’ятикратно вироджені, тоді як основний, ε₀, - невироджений. Цей факт дозволяє говорити про нерівномірність розподілу одноелектронних станів за енергією.

Для характеристики розподілу одноелектронних станів за енергією зручно, як і у випадку фононів, використати поняття щільності розподілу станів за енергією – функції g(ε), добуток якої на величину dε визначає кількість станів, значення енергії яких містяться у інтервалі (ε, ε + dε). Крім того, слід взяти до уваги, що електрони належать до групи ферміонів – частинок, які підпорядковуються принципу Паулі. Ймовірність знаходження такої частинки у стані з енергією ε визначається функцією розподілу Фермі-Дірака

(4.1)

(тут μ – параметр закону розподілу, відомий у статистичній фізиці під назвою хімічний потенціал). За означенням, кількість заселених станів, енергія яких належить інтервалу (ε, ε + dε), становить величину g(ε)f(ε)dε.

Знання функцій g(ε) і f(ε) дозволяє знайти ряд характеристик електронної системи кристалу, наприклад середню енергію електрона в ньому. Дійсно, загальна кількість станів, заселених електронами

, (4.2)

середня енергія системи електронів у кристалі

, (4.3)

а середня енергія одноелектронного стану –

. (4.4)

Явний вигляд функції g(ε) залежить від структури енергетичної зони і тому різний у різних кристалах, а в окремо взятому кристалі – у різних зонах. Найпростіший вигляд вона має у випадку параболічних зон, закон дисперсії яких має вигляд (3.47). У цьому випадку енергія електрона залежить від модуля хвильового вектора, так що усі стани з енергією ε знаходяться на поверхні сфери k-простору, радіус якої

(4.5)

(тут для простоти відлік енергії ведеться від дна зони). Стани, енергія яких належить інтервалу (ε, ε + dε), знаходяться всередині шару між двома концентричним сферами з радіусами k та k + dk (див рис. 2.7), а їх кількість, згідно (2.26), становить величину Ωk²dk/π² (тут враховано також можливість знаходження на одному рівні двох електронів з протилежно напрямленими спіновими моментами). Переходячи від змінної k до ε, з означення щільності розподілу станів за енергією знаходимо

. (4.6)

Зокрема, якщо відлік енергії здійснювати від дна зони провідності (E_c = 0), то щільність розподілу для електронів провідності у напівпровіднику

, (4.7)

а дірок –

. (4.8)

Графіки залежності g(ε) наведені на рис. 4.1.

Рис. 4.1. Залежність щільності розподілу за енергією електронів провідності ge(ε) та дірок gh(ε) у напівпровіднику

Функція розподілу Фермі-

Дірака у якості параметрів містить дві величини – абсолютну температуру системи Т та її хімічний потенціал μ. В області низьких температур (таких, що k_BT < |ε – μ|) її значення мало відрізняються від одиниці при ε < μ та від нуля при ε > μ і ці відмінності тим менші, чим нижча температура). Апроксимуючи поведінку залежності f(ε) до абсолютного нуля температур, можна стверджувати, що при Т = 0 К

(4.9)

З цього факту випливає, що при Т = 0 одноелектронні стани, енергія яких більша ніж значення хімічного потенціалу, незаселені.

Рис. 4.2. Рівноважний розподіл електронів за енергією при Т = 0 (а) та Т > 0 (б)

Значення енергії, що відділяє заселені при температурі абсолютного нуля рівні від незаселених, у фізиці твердого тіла називається енергією або рівнем Фермі. Очевидно, положення рівня Фермі E_F визначається значенням хімічного потенціалу μ, а саме – E_F = μ при Т = 0 К.

При Т > 0 частинки знаходяться у тепловому русі, енергія якого тим більша, чим вища температура. Отже, зростання температури означає можливість заселення рівнів, вищих рівня Фермі на величину порівняну з енергією теплового руху kT, що приводить до зміни розподілу (рис. 4.2).