2.5. Теплове розширення твердих тіл

Явний вигляд енергії взаємодії атомів твердого тіла, як функції відстані між ними r, взагалі кажучи, невідомий. Тому, користуючись наявністю мінімуму цієї (невідомої) функції у положенні рівноваги r₀, її подають у вигляді степеневого ряду

, (2.33)

де u = r – r₀ – зміщення атома відносно положення рівноваги.

Рис. 2.10. Потенціальна енергія атома, як функція відхилення від положення рівноваги

При температурах близько абсолютного нуля атоми практично знаходяться у положеннях рівноваги (r = r₀, u = 0), так що розміри кристалу визначаються відстанню між ними r₀. Зростання температури призводить до збільшення амплітуди коливань атомів біля положень рівноваги. Вважаючи амплітуди коливань малими, можна обмежитись першим ненульовим членом ряду (2.33), залежним від зміщення u, записавши

, (2.34)

де U₀ ≡ – U(0), – коефіцієнт жорсткості зв’язку між атомами ( оскільки ця величина визначає силу, що діє на атом у положенні рівноваги). Графік функції (2.34) має вигляд параболи (пунктирна лінія на рис. 2.10), симетричної відносно прямої r = r₀.

Квадратична залежність U(u) відповідає вигляду потенціальної енергії пружної взаємодії, результатом якої є гармонійні коливання. У цьому випадку відхилення атома в обидва боки від положення рівноваги однакові при довільних значеннях повної енергії Е (рис. 2.10), а тому середні відстані між атомами дорівнюють рівними r₀. З цього випливає, що зростання температури не впливає на розміри кристалу, що не узгоджується з емпірично встановленим явищем теплового розширення.

Насправді ж, потенціальна енергія взаємодії атомів (наприклад, потенціал Ленарда - Джонса у молекулярних, Борна – Майера – у іонних кристалах), має залежність від міжатомної відстані, яка істотно відрізняється від квадратичної (суцільна лінія на рис. 2.10). Це означає, що для пояснення факту теплового розширення кристалічної ґратки потрібно врахувати, що коливання атомів у кристалах мають ангармонійний характер.

Врахування ангармонізму означає, що у розвиненні потенціальної енергії у ряд (2.33) необхідно враховувати члени з більш високими степенями u. Наприклад, зберігаючи доданки, що містять величину зміщення не вище третього степеня, отримаємо

, (2.35)

де введене позначення .

Оскільки за заміна в (2.35) величини u на − u приводить до різного результату, то графік функції U(r – r₀) несиметричний відносно положення рівноваги (суцільна крива на рис. 2.10). Тому зростання енергії кристалу при його нагріванні приводить до збільшення середніх відстаней між атомами, що означає зміну його розмірів. Причиною такого розширення кристалу при нагріванні є, як видно, ангармонійний характер коливань атомів.

Кількісно величина теплового розширення характеризується коефіцієнтом теплового розширення ґратки

, (2.36)

де – середнє зміщення атомів від положення рівноваги при температурі Т.

Для оцінки цієї величини приведемо наступні міркування. Зміщення атома від положення рівноваги на величину u приводить до зростання потенціальної енергії взаємодії його з сусіднім атомом, що приводить до появи незкомпенсованої сили

,

середнє значення якої . Звідси знаходимо

. (2.37)

З точністю до величини другого порядку малості потенціальна енергія атома, що коливається біля положення рівноваги, визначається виразом(2.34) і зростає в середньому на величину . Відомо також, що середнє значення потенціальної енергії гармонійного коливного руху дорівнює середньому значенню кінетичної енергії, так що

,

де – повна енергія. Тоді , та, з урахуванням Е_кр = 3N ,

(2.38)

де С – теплоємність кристалу, що складається з N атомів.

Отже, температурний коефіцієнт теплового розширення α виявився пропорційним до теплоємності кристалу, а тому має таку саму температурну залежність – постійний при високих температурах і змінюється пропорційно до Т³ при низьких (рис. 2.9), що підтверджується експериментально.