Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
namefix-1.doc
Скачиваний:
10
Добавлен:
04.05.2019
Размер:
881.66 Кб
Скачать

2.6. Теплопровідність твердих тіл

Другим ефектом, обумовленим ангармонійністю коливань атомів у кристалах, є наявність скінченої швидкості теплопередачі, що свідчить про наявність опору перенесенню енергії теплового руху атомів кристалічної ґратки.

Процес поширення тепла у однорідному середовищі описується рівнянням Фур’є

(2.39)

яке визначає кількість теплоти dQ, перенесеної через елемент поверхні площею dS у напрямку вісі Ox, перпендикулярної до нього, за час dt. Тут – градієнт температури, а κ – коефіцієнт пропорційності, який характеризує здатність середовища проводити тепло і називається коефіцієнтом теплопровідності. Його величина визначає кількість теплоти, що переноситься через одиницю площі поверхні, перпендикулярної до вісі Ox, за одиницю часу при умові .

Факт скінченої швидкості теплопередачі не може бути поясненим, якщо припустити, що коливання атомів у кристалі гармонійні.

Дійсно, внаслідок нагрівання кристалу зростає енергія коливного руху атомів, тобто збільшується кількість фононів у приповерхневій (гарячій) зоні. Різниця їх концентрацій приведе до дифузії – напрямленого потоку у бік холодної області, де концентрація фононів менша. Оскільки ж фонони є квантами енергії теплових коливань, то їх дифузія супроводжується перенесенням тепла – теплопередачею. Швидкість теплопередачі визначається швидкістю напрямленого дифузійного руху фононів.

У гармонійному наближенні фонони вважаються не взаємодіючими. Тоді процес поширення теплових коливань у кристалі слід трактувати як дифузійний потік невзаємодіючих фононів. З цього випливає, що швидкість передачі тепла має бути дуже великою – такою, як швидкість звуку (швидкість руху акустичних фононів); у твердих тілах вона складає величину порядка 1000 м/с. Це означало би практично миттєве нагрівання будь-якого кристала. Проте насправді процес вирівнювання температур у кристалах, як і у некристалічних речовинах, набагато повільніший.

Наявність скінченої швидкості теплопередачі можна пояснити, залишаючись у рамках фононної моделі теплового руху атомів кристалу, якщо припустити можливість взаємодії фононів. Дійсно, зростання кількості фононів при нагріванні кристалу приводить до збільшення ймовірності їх зіткнення. При кожному зіткненні напрям руху фононів змінюється. Оскільки ж ці процеси відбуваються випадково, то рух фонона стає хаотичним, а швидкість теплопередачі визначається дрейфовою швидкістю дифузійного потоку, значно меншою, аніж швидкість руху фонона.

Використання фононної моделі теплових процесів робить схожими явища теплопровідності і дифузії. Різниця полягає тільки у тому, що у процесі дифузії відбувається вирівнювання концентрацій речовини внаслідок перенесення маси, а у процесі теплопередачі – вирівнювання температур. Носіями маси є молекули речовини, а тепла – фонони. Процес дифузії у однорідному середовищі також описується рівнянням Фур’є

(2.40)

де m – маса, С – концентрація, а Dкоефіцієнт дифузії.

Подібність явищ дифузії і теплопровідності дозволяє припустити й подібність процесів, що визначають швидкість перенесення, відповідно, маси чи тепла. Мала швидкість дифузії у твердих тілах порівняно з рідинами та газами, пояснюється сильним розсіюванням молекул дифундуючої речовини внаслідок теплових коливань атомів. Хаотичність теплового руху атомів кристала і зіткнення з ними молекул дифундуючої речовини є причиною виникнення опору дифузії.

Аналогічно можна уявити, що і спостережуваний опір процесам перенесення тепла у кристалах пов’язаний з розсіванням енергії теплових збуджень – фононів на коливаннях ґратки. Збудження і поширення ж останніх трактується як виникнення і рух фононів. Отже, причиною скінчених значень коефіцієнтів теплопередачі у кристалах слід вважати фонон-фононну взаємодію.

В кінетичній теорії газів показано, що коефіцієнт теплопровідності газу визначається формулою

, (2.41)

де – середня довжина вільного пробігу молекул, – середня швидкість їх теплового руху, ρ – густина, а СV – питома теплоємність газу при постійному об’ємі. У випадку фононного газу у якості величини СV слід розуміти питому теплоємність кристалу, – довжину вільного пробігу фононів, – швидкість їх руху (наближено її можна вважати рівною швидкості звуку у кристалі).

В області високих температур теплоємність постійна; довжина вільного пробігу фононів – обернено пропорційна до їх концентрації

.

З цього випливає, що в області високих температур (T >> θD) теплопровідність ґратки обернено пропорційна до температури кристалу.

Рис. 2.11. Температурна залежність коефіцієнту теплопровідності ґратки

При низьких температурах концентрація фононів мала, а тому довжина вільного пробігу досягає значень, близьких до розмірів кристалу і не залежить від температури. Температурна залежність теплопровідності ґратки у цьому випадку визначається залежністю CV(T) – “законом Т3”. Отже, при T << θD теплопровідність ґратки пропорційна до температури кристалу у третьому степені.

Результати експериментальних вимірювань теплопровідності ґратки кристалів, які не проводять електричний струм, підтверджують справедливість наведених міркувань (рис. 2.11), що свідчить про справедливість уявлень про рух і взаємодію фононів.

Припущення про можливість взаємодії фононів означає відхід від уявлення про гармонійний характер коливань атомів у кристалі. Очевидно, узгодження теорій теплопровідності і теплового розширення ґратки з результатами експериментальних вимірювань, свідчить на користь уявлення про ангармонійний характер теплового руху атомів у кристалі.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]