2.3. Особливості теплового руху атомів тривимірної ґратки

Розглянуті нами одновимірні кристали є сильно спрощеною моделлю, проте висновки про закономірності руху атомів, отримані на їх основі, можуть бути узагальнені і на випадок тривимірних ґраток. Порівняно з лінійним ланцюгом при розгляді дво- або тривимірних кристалів потрібно взяти до уваги тільки одну додаткову характеристику хвиль – їх поляризацію.

Розглянемо коливання у кристалі кубічної форми розміром L×L×L, грані якого паралельні граням елементарних комірок. Зміщення атомів при збудженні плоскої хвилі, що поширюється у напрямку задається у вигляді

.

Аналогічно до того як це робилось у випадку одновимірного кристала, уведемо циклічні умови для кожного з напрямків, паралельних до осей куба. Це приводить до квантування дозволених значень кожної з проекцій хвильового вектора на координатні осі. Проте хвилі у тривимірному кристалі можуть відрізнятись не тільки хвильовим вектором, але і напрямком зміщення атомів у хвилі відносно , тобто поляризацією, напрямок якої визначає вектор поляризації . Хвиля довільної поляризації може розглядатись як суперпозиція трьох хвиль взаємно ортогональних поляризацій – однієї поздовжньої та двох поперечних. Синусоїдальну хвилю, що має один з цих трьох напрямків поляризації і деяке дозволене значення , називають нормальним коливанням або модою.

Кількість дозволених значень хвильового вектора у кристалі, що складається з N атомів знайдемо ділячи об’єм першої зони Бріллюена на об’єм оберненого простору, що припадає на одне дозволене значення – 8π³/a³ : (2π/L)³ = L³/a³ = Ω/Ω₀ = N. Тоді, з урахуванням поляризації, кількість різних мод у цьому кристалі 3N. Якщо вважати кристал системою N невзаємодіючих атомів, то число ступенів вільності такої системи становить величину 3N. Насправді атоми у кристалі взаємодіють, утворюючи єдину коливну систему, проте кількість ступенів вільності у неї зберігається те саме – 3N.

Взявши до уваги, що частота нормальних коливань залежить не тільки від , але й від поляризації хвилі, приходимо до висновку, що у тривимірному кристалі, на відміну від лінійного ланцюжка, існує три дисперсійних кривих для кожного типу коливань (рис. 2.6).

Рис. 2.6. Залежність частот ω акустичних і оптичних коливань атомів тривимірної ґратки від довжини хвильового вектора q

Дві з них відповідають поперечним, одна – поздовжнім коливанням атомів. У кубічних кристалах криві, що відповідають поперечним поляризаціям, накладаються одна на одну. Отже на графіку залежності ω( ) залишається тільки дві криві: одна для поперечних і друга – для поздовжніх (більш високочастотних).

У ґратках з базисом окрім акустичних виникають також оптичні коливання, що відповідають коливанням різних підґраток одна відносно іншої. Якщо примітивна комірка ґратки містить r атомів, то у спектрі її частот існує три гілки акустичних, та (3r – 3) – оптичних коливань. При цьому для кожної з цих гілок є три можливих поляризації – поздовжня і дві поперечні.

Отже, зміщення довільного атома у будь-який момент часу t є суперпозицією

(2.15)

плоских хвиль усіх можливих поляризацій і частот. Одночасна участь кожного з атомів у коливаннях, збуджених усією сукупністю цих хвиль і приводить до хаотичності їх теплового руху.