2.4.2. Залежні і незалежні випадкові величини. Умовні закони розподілу

У попередньому пункті ми показали, як, знаючи за­кон розподілу системи двох (дискретних або неперервних) випадкових величин, знайти закон розподілу окремих величин Х і Y, які входять у систему (Х, Y).

Виникає природне питання: чи не можна, знаючи закони розподілу окремих випадкових величин Х і Y, що є компонентами двовимірної випадкової величини (Х, Y), знайти їх сумісний закон розподілу?

Виявляється, що це можна зробити лише в одному частковому випадку, коли випадкові величини Х і Y, які утворюють систему, є незалежні.

У найбільш загальному формулюванні дві випадкові величини нази­ваються незалежними, якщо закон розподілу кожної з них не залежить від того, якого значення набула інша.

У термінах функцій розподілу незалежність випадкових величин можна визначити так: дві випадкові величини називаються незалежними, якщо для будь-яких дійсних чисел х і y імовірність сумісної появи двох подій Х < x і Y < y дорівнює добуткові ймовірностей цих подій, тобто:

, (2.57)

або

F(x, y) = F₁(x) · F₂(у). (2.57)

Якщо функція розподілу F(x, y) не може бути подана як добуток F₁(x) на F₂(y), то величини Х і Y є залежні.

У випадку, коли Х і Y – дві незалежні дискретні випадкові величини, сумісний закон розподілу яких описано табл. 2.7, то необхідна і достатня умова незалежності Х і Y виражається системою рівностей:

. (2.58)

Для неперервних випадкових величин необхідна і достатня умова незалежності Х і Y виражається також через густини розподілу:

(2.58)

Наприклад, у прикладі 2.26 дискретні випадкові величини Х і Y – незалежні, оскільки для ймовірностей p(x_i, y_j), p(x_i), p(y_j) виконується система рівностей (2.58):

і т. д.

Такий самий висновок можна зробити щодо неперервних випадкових величин із прикладу 2.28. Тут двовимірна випадкова величина (Х, Y) задана густиною розподілу:

де .

За допомогою формул (2.56) знахо­димо густини розподілів f₁(x) і f₂(y):

Тоді з рівності маємо, що Х і Y – незалежні.

Приклад 2.29. Закон розподілу двовимірної дискретної випадкової величини задано таблицею:

X=xі Y=yj	10	20	30	40	p(yj)
–8 –4 –2	0,01 0,07 0,1	0,03 0,1 0,2	0,02 0,07 0,1	0,04 0,06 0,2	0,1 0,3 0,6
p(xi)	0,18	0,33	0,19	0,3

З’ясувати, чи випадкові величини Х і Y – незалежні.

Розв’язання. Нагадаємо, що у внутрішніх клітинках таблиці містяться ймовірності , які визначають сумісний розподіл двох випадкових величин Х і Y, а остан­ній рядок та останній стовпець характеризують одновимірні розподіли компонент Х і Y, відповідно.

У цій таблиці p(x₁, y₁) = 0,01, p(x₁) = 0,18, p(y₁) = 0,1, тому p(x₁, y₁) ≠ p(x₁) · p(y₁) і випадкові величини Х і Y – залежні.

Приклад 2.30. Двовимірна неперервна випадкова величина (Х, Y) задана густиною розподілу:

де . Визначити число а, густини розподілів однови­мірних компонент Х і Y та з’ясувати, чи випадкові величини Х і Y незалежні.

Розв’язання. Значення величини а знаходимо з умови (2.54):

Отже, випадкова величина (Х, Y) має густину розподілу ймовірностей:

За формулами (2.56) знаходимо густини розподілів і :

Оскільки при , то випадкові величини Х і Y – залежні.

Якщо випадкові величини, які утворюють систему, залежні, то для знаход­ження їх сумісного розподілу недостатньо знати закони розподілу складових, а потрібно ще знати так званий умовний закон розподілу однієї з них. Це питання тісно пов’язане з поняттям імовірності події А за умови, що відбулася подія В, тобто з умовною імовірністю події А, яка виражається формулою:

(див. підрозділ 1.2).

А. В и п а д о к д и с к р е т н о ї в е л и ч и н и. Нехай – можливі значення дискретної двовимірної випадкової величини (Х, Y), . Через позначимо умовну ймовірність того, що випадкова величина X набуде значення за умови, що випадкова величина Y набула значення , а через – умовну ймовірність того, що випадкова величина Y набуде значення за умови, що випадкова величина Х набула значення .

Імовірності і обчислюємо за формулами:

, (2.59)

, (2.59)

які випливають з формули для обчислення умовної ймовірності події.

Означення. Умовним законом розподілу складової Х випадкової величини (Х, Y) за фіксованого значення складової називається перелік усіх можливих значень випадкової величини X та відповідних їм умовних імовірностей .

Умовним законом розподілу складової Y двовимірної дискретної випадкової величини (Х, Y) за фіксованого значення називається перелік усіх можливих значень випадкової величини Y та відповідних їм умовних імовірностей .

Умовні закони розподілу складових Х і Y двовимірної дискретної випадкової величини (Х, Y) записують, відповідно, у формі таких таблиць:

Таблиця 2.8

X = xi					.

Таблиця 2.9

Y = yj					.

Звідси маємо такий висновок: знаючи безумовні закони розподілу складових X і Y та умовний закон розподілу однієї з них, можемо скласти закон розподілу двовимірної дискретної випадкової величини (X, Y) і ймовірності можливих її значень обчислюємо за формулами:

Приклад 2.31. Закон розподілу двовимірної випадкової величини задано таблицею прикладу 2.29:

X = xі Y = yj	10	20	30	40	p(yj)
–8 –4 –2	0,01 0,07 0,1	0,03 0,1 0,2	0,02 0,07 0,1	0,04 0,06 0,2	0,1 0,3 0,6
p(xi)	0,18	0,33	o,19	0,3

Записати умовні закони розподілу і

Розв’язання. Запишемо закон розподілу випадкової величини X за фіксованого значення Y = –4. Для цього обчислимо умовні ймовірності:

Умовний закон розподілу

X = xi	10	20	30	40
p(xi|y2)

Зробимо перевірку:

Запишемо закон розподілу випадкової величини Y за фіксованого значення Для цього обчислимо ймовірності:

Умовний закон розподілу

Y = yj	–8	–4	–2
p(yj|x4)

Перевірка:

Б. В и п а д о к н е п е р е р в н о ї в е л и ч и н и. Нехай (X, Y) – двовимірна неперервна випадкова величина і f(x, y) – густина її сумісного розподілу. Як уже зазначалося, закони розподілу складових Х і Y визна­чаються рівностями:

,

Означення. Умовною густиною розподілу ймовірностей складової Х двовимірної неперервної величини (X, Y) за фіксованого значення Y = y називається відношення густини f(x, y) її сумісного розподілу до густини складової Y:

. (2.60)

Умовною густиною розподілу ймовірностей складової Y дво­вимірної неперервної величини (X, Y) за фіксованого значення Х = х назива­ється відношення густини f(x, y) її сумісного розподілу до густини складової Х:

. (2.60)

Умовна густина розподілу ймовірностей складової двовимірної неперервної випадкової величини визначає її умовний закон розподілу.

Звідси маємо аналогічний, як у дискретному випадку, висновок: знаючи густини розподілів складових Х і Y та умовну густину розподілу однієї з них, можемо обчислити густину розподілу двовимірної неперервної випадкової величини (Х, Y) за формулами:

Приклад 2.32. Знайти умовні густини розподілу і для залежних неперервних випадкових величин Х і Y, які описано у прикладі 2.30.

Розв’язання. За допомогою формул (2.60), (2.60) та виразів для f₁(x), f₂(y), отриманих у ході розв’язування задачі 2.30, знаходимо:

де – фіксоване;

де – фіксоване.

Робимо перевірку:

Повернемося до питання про залежність і незалежність випадкових величин. Нагадаємо, що дві випадкові величини називаються незалежними, якщо закон розподілу однієї з них не залежить від того, якого можливого значення набула друга величина. У загальному випадку незалежність складових Х і Y двовимірної випадкової величини (Х, Y) рівносильна виконанню рівності (2.57), а критерії незалежності окремо для дискретного і неперервного випадків визначаються співвідношеннями (2.58), (2.58). Звідси випливає, зокрема, що коли величини Х і Y незалежні та неперервні, то їх умовні густини розподілів і збігаються з «безумовними» густинами розподілів f₁(x) і f₂(y):

Очевидно, подібний висновок про рівність відповідних умовних і безумовних розподілів двох незалежних випадкових величин можна зробити і в дискретному випадку.

Зауважимо також, що поняття залежності випадкових величин не можна змішувати зі звичною для нас у математиці функціональною залежністю. У разі існування функціональної залежності між величинами Х і Y кожному значенню Х = х за певним законом відповідає одне і тільки одне значення Y = y. Якщо ж ми маємо справу із залежними випадковими величинами, то, в загальному випадку, знаючи значення однієї, можна тільки вказати закон розподілу другої. Така залежність називається ймовірнісною (або стохастичною). Отже, залежність між випадковими величинами може бути більш або менш тісна: від повної її відсутності через різні ступені ймо­вірнісної залежності аж до строгої, функціональної залежності, коли, знаючи значення однієї випадкової величини, можна точно вказати значення другої.