Погрешность результата численного решения задачи

Погрешность решения задачи обуславливается следующими причинами:

1. Математическое описание задачи является неточным, в частности, неточно заданы исходные данные описания.

.2. Применяемый для решения метод часто не является точным: получение точного решения возникающей математической задачи требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций, и поэтому вместо получения точного решения задачи приходится прибегать к приближенному.

3. При вводе данных в машину, при выполнении арифметических операций и при выводе данных производятся округления.

Погрешности, соответствующие этим причинам, называют:

1. неустранимой погрешностью,

2. погрешностью метода,

3. вычислительной погрешностью.

Требования к оформлению отчета о выполнении лабораторной работы

В отчет о выполнении лабораторной работы необходимо включить следующие пункты:

1. Тема лабораторной работы;

2. Цель работы;

3. Постановка задачи и вариант задания;

4. Математическое описание метода решения поставленной задачи;

5. Листинг программы;

6. Результаты выполнения программы;

7. Анализ результатов и выводы.

Лабораторная работа № 1 Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений методами Рунге-Кутта

Цель работы. Решение обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка методами Рунге-Кутта.

Теоретическая часть

Пусть требуется найти на отрезке решение дифференциального уравнения

(1.1)

Разобьем на отрезки . Последовательно будем получать приближения к значениям решения . Пусть значение уже найдено, тогда значение будем определять по следующей расчетной формуле

(1.2)

Этот метод называется методом Эйлера. Можно построить другой класс расчетных формул, к которому принадлежит метод Эйлера. Укажем сначала простейшие методы этого класса, получаемые из наглядных соображений. Пусть известно значение решения у(х) и требуется вычислить значение y(x+h). Рассмотрим равенство

(1.3)

При замене интеграла в правой части на величину hy'(x) погрешность имеет порядок , т. е.

у (х + h) = у (х) + hу' (х) + О(h²);

поскольку у'(х) = f(x, y(x)), то отсюда имеем

y(x + h) = y(x) + hf (х, у (х)) + О (h²).

Отбрасывая член порядка O(h²) и обозначая х =x_j, x+h =x_j+1, получим расчетную формулу Эйлера (1.2). Для получения более точной расчетной формулы нужно точнее аппроксимировать интеграл в правой части (1.3). Воспользовавшись формулой трапеций, получим

у (х + h) = у (х) + (у'(х) + у'(х + h)) + О (h³),

иначе,

y(x + h) = y(x) + (f(x,y (x))+f(y+h, y (x+h))) +О (h³). (1.4)

Соответствующая расчетная формула:

(1.5)

Обычно это уравнение неразрешимо явно относительно . Поэтому на практике чаще всего пользуются расчетными формулами

(1.6)

Если интеграл в правой части (1.3) заменить по формуле прямоугольников, то можно построить другую пару расчетных формул с погрешностью на шаге того же порядка:

(1.7)

Полученные методы относятся к семейству методов Рунге-Кутта.