- •Розділ і. Первісна та невизначений інтеграл
- •Властивості невизначеного інтеграла
- •1.1. Таблиця основних інтегралів
- •1.2. Методи інтегрування
- •1.2.1. Метод безпосереднього інтегрування
- •1.2.2. Метод заміни змінної (метод підстановки)
- •Метод інтегрування частинами
- •I. Інтеграли вигляду
- •II. Інтеграли вигляду
- •III. Інтеграли вигляду
- •IV. Рекурентні формули
- •1.3. Інтегрування деяких класів функцій
- •1.3.1. Інтегрування функцій, які містять квадратний тричлен
- •1.3.2. Інтегрування раціональних функцій
- •1.3.3. Інтегрування деяких ірраціональних функцій
- •Іv. Інтегрування біномних диференціалів
- •1.3.4. Інтегрування тригонометричних та гіперболічних функцій
- •Якщо , то використовуємо підстановку .
- •Якщо , то використовуємо підстановку .
- •Якщо , то використовуємо підстановку .
- •V. Інтегрування гіперболічних функцій
- •Розділ іі. Завдання для розрахунково-графічної роботи
1.3.4. Інтегрування тригонометричних та гіперболічних функцій
I. Інтеграли вигляду , де – раціональна функція своїх аргументів і , завжди зводяться до інтегралів від раціональної функції за допомогою універсальної тригонометричної підстановки . Звідси отримуємо: , , , .
Приклад 16. Знайти інтеграл .
Використовуючи універсальну тригонометричну підстановку, отримуємо
.
Універсальна тригонометрична підстановка часто призводить до складних дробово-раціональних функцій. Тому розглянемо інші підстановки:
Якщо , то використовуємо підстановку .
Якщо , то використовуємо підстановку .
Якщо , то використовуємо підстановку .
Приклад 17. Знайти інтеграл .
Підінтегральна функція має властивість .
Тому використовуємо підстановку , . Розділимо чисельник і знаменник підінтегральної функції на . Отримаємо
.
II. Інтеграли , , обчислюються з використанням формул тригонометрії
,
,
відповідно.
Приклад 18. Знайти інтеграл .
.
ІІІ. Інтеграли: а) , б) , в) , г) ,
Є різні способи обчислення цих інтегралів. Розглянемо деякі із них.
заміна , тоді , . Тому – це інтеграл від раціональної функції, який розглянуто в 1.3.2.
заміна , тоді , . Тому .
інтеграл просто обчислюється у випадку непарного наступним чином:
– це
інтеграл від многочлена степеня .
Якщо , то можна скористатись формулою пониження степеня: .
для цього інтеграла зауваження аналогічні як для випадку в). Якщо , то
.
Якщо , то використовуємо формулу пониження степеня:
.
Крім того, для інтегралів а) – г) можна отримати рекурентні формули.
Приклад 19. Знайти інтеграли: а) ; б) .
а) Заміна , , тоді , . Тому
.
б) Використаємо формулу пониження степеня: . Тоді
IV. Інтеграли вигляду .
Розглянемо такі три випадки:
1. Нехай принаймні одне з чисел чи є непарне натуральне число, наприклад . Тоді
.
А це є інтеграл від многочлена.
2. Нехай та – парні натуральні числа. Тоді використовуємо формули пониження степеня.
3. Нехай , . В цьому випадку вигідно використати підстановку або .
Приклад 20. Знайти інтеграли: а) , б) .
а) Маємо перший випадок:
.
б) Маємо третій випадок: .
.
V. Інтегрування гіперболічних функцій
Чотири основні гіперболічні функції визначаються через експоненту наступним чином
; ;
; .
Крім того, для гіперболічних функцій мають місце формули:
; ; ;
; .
Інтеграли від гіперболічних функцій завжди можна звести до інтегралів від експонент, проте іноді отримуємо складні підінтегральні вирази. Не існує загального методу інтегрування гіперболічних функцій.
Інтеграли вигляду , де – раціональна функція своїх аргументів і , завжди зводяться до інтегралів від раціональної функції за до–помогою підстановки . Звідси , , .
Якщо , то доцільно використати підстановку .
Якщо , то використовуємо підстановку .
Якщо , то доцільно використати підстановку .
Приклад 21. Знайти інтеграли:
а) ; б) ; в) ; г) .
а)
б) .
в) .
г) Використаємо формулу інтегрування частинами:
.
Звідси . Тому
.