МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ «ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА»

ВИЩА МАТЕМАТИКА

ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ

ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

(Частина 1. НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ)

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ТА ЗАВДАННЯ

ДО РОЗРАХУНКОВО-ГРАФІЧНОЇ РОБОТИ ДЛЯ СТУДЕНТІВ ІНЖЕНЕРНО-ТЕХНІЧНИХ ТА ХІМІЧНИХ СПЕЦІАЛЬНОСТЕЙ

Затверджено

на засіданні кафедри обчислювальної

математики та програмування,

протокол №2 від 03.10.11р.

Львів-2011

Вища математика. Інтегральне числення функцій однієї змінної (Частина 1. Невизначений інтеграл): методичні вказівки та завдання до розрахунково-графічної роботи для студентів інженерно-технічних та хімічних спеціальностей / П.І. Каленюк, Я.О. Баранецький, Б. Б. Пахолок, Л. І. Коляса. – Львів. Видавництво Львівської політехніки, 2011. – 50 с.

Укладачі П.І. Каленюк, д-р фіз.-мат. наук ,проф.,

Я.О. Баранецький, канд. фіз.-мат. наук, доцент,

Б. Б. Пахолок, канд. фіз.-мат. наук, доцент ,

Л. І. Коляса, канд. фіз.-мат. наук, асистент.

Відповідальний за випуск: В.С. Ільків, д-р фіз.-мат.наук , проф.

Рецензенти: М.В. Заболоцький, д-р фіз.-мат. наук ,проф.,

І.П. Мединський, канд. фіз.-мат. наук, доц.

Відомо, що задача інтегрування є значно складнішою від задачі диференцію-вання вже навіть для функцій однієї змінної. Тому ґрунтовне вивчення і засвоєння теми інтегрального числення функцій однієї змінної, як показує досвід, супрово-джується у студентів певними труднощами різного характеру. Метою цієї роботи є допомогти студентам оволодіти технікою інтегрування при вивченні невизначеного інтеграла. В розділі І містяться методичні вказівки стосовно методів інтегрування різних класів функцій. Теоретичного матеріалу розділу І досить для виконання розрахунково-графічної роботи, завдання для якої зібрані в розділі ІІ. Перед тим, як виконувати завдання свого варіанту, студентові потрібно опрацювати відповідний теоретичний матеріал з розділу І. Відібраний для цих методичних вказівок матеріал відповідає навчальним програмам інженерно-технічних та хімічних спеціальностей.

Розділ і. Первісна та невизначений інтеграл

Означення 1. Функція називається первісною для функції на інтервалі , якщо для

, (1)

або

(2)

Рівність (1) визначає первісну за допомогою похідної, а рівність (2) – за допомогою диференціала. Первісну ще називають примітивною або інтегралом.

З означення 1 випливає, що коли – первісна для , то функція також є первісною для , де – довільна константа.

Теорема 1. Якщо функція неперервна на , то вона має первісну.

Теорема 2. Якщо і дві довільні первісні для на , то для , де – довільна стала величина.

Наслідок. Якщо – одна із первісних для функції на , то довільна первісна для на записується у вигляді

, (3)

де – довільна константа.

Отже, кожна неперервна на функція має нескінченну кількість первісних, які відрізняються одна від одної лише константою.

Означення 2. Сукупність всіх первісних для функції називається невизначеним інтегралом цієї функції і позначається

. (4)

Знак називається інтегралом, функція – підінтегральна функція, – підінтегральний вираз, – змінна інтегрування.

Властивості невизначеного інтеграла

1. Якщо функція має первісну, то

, . (5)

2. Якщо неперервно диференційована функція, то

, . (6)

3. Якщо функції і мають первісні і , , то функція також має первісну і

. (7)

Відзначимо, що рівність (7) носить умовний характер: її потрібно розуміти як рівність лівої і правої частини з точністю до константи.

1.1. Таблиця основних інтегралів

Таблицю основних інтегралів сформуємо з двох частин: А і Б. Частина А містить найпростіші інтеграли, які можна одержати на основі таблиці похідних. Частина Б містить більш складні інтеграли, які можна отримати, використову-ючи різні методи інтегрування. Таблицю основних інтегралів потрібно пам’ятати.

А

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.		8.
9.		10.
11.		12.
13.		14.
15.		16.

Б

17.	18.
19.	20.
21.
22.