1.2. Методи інтегрування

1.2.1. Метод безпосереднього інтегрування

Безпосереднім інтегруванням називається процес знаходження інтегралів за допомогою таблиці інтегралів, основних властивостей невизначеного інтеграла з використанням формул алгебри, тригонометрії та алгебраїчних операцій.

Продемонструємо цей метод на прикладах.

Приклад 1. Знайти інтеграли:

а) ; б) ; в) .

а) Використаємо формулу (7). Отримаємо:

.

б) Спочатку використаємо формулу “квадрат різниці”, потім формулу (7) і таблицю інтегралів. Отримаємо:

в) Використовуючи основну тригонометричну тотожність, алгебраїчні операції та таблицю інтегралів, отримаємо:

.

1.2.2. Метод заміни змінної (метод підстановки)

Нехай потрібно знайти інтеграл , про який відомо, що він існує, але він не є табличним і не інтегрується безпосередньо. Зробимо заміну змінної , поклавши

, (8)

де – неперервно диференційована функція, яка має обернену: . Тоді

. (9)

У випадку вдалої заміни (8) інтеграл справа в (9) можна легко обчислити. Зазначимо, що після інтегрування в правій частині (9) потрібно повернутись до змінної , виходячи з рівності Врахувавши, що , рів-ність (9) можна записати наступним чином

. (10)

Перетворення диференціала на основі формули називається внесенням під знак диференціала. Цей спосіб часто використовують в методі підстановки. Зокрема, очевидними є такі перетворення:

, , , тощо.

Рівність (9) (або(10)), прочитана зліва направо, називається формулою заміни змінної інтегрування (коротко – заміни змінної). Проте формула (9) (чи(10)) може бути прочитана справа наліво, тобто може бути записана так:

. (11) В цьому випадку кажуть, що використана підстановка . У випадку заміни змінної змінна інтегрування замінюється на функцію нової змінної , а у випадку підстановки функція змінної інтегрування замінюється на нову змінну інтегрування . Звичайно, після інтегрування справа в (11) потрібно повернутися до змінної , використавши рівність .

Взагалі кажучи, різні методи інтегрування зводяться до тої чи іншої заміни змінної (підстановки).

Розглянемо використання методу заміни змінної для отримання інтегралів таблиці Б, використовуючи при цьому таблицю А.

Приклад 2. Знайти інтеграли:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

а) . Використаємо заміну змінної: , ( ), тоді . Вважаємо, що . Функція на проміжку неперервно диференційована, монотонна і має обернену. Тому

.

Повернемось тепер до змінної . Із рівності отримуємо . Тому . Якщо , то отримаємо інтеграл 11 з

таблиці А.

б) . Використаємо заміну : , тоді . Отже,

.

Повертаємось до змінної . Із рівності отримуємо . Тому

.

в) Виконуємо очевидні перетворення підінтегральної функції:

.

Ми одержали інтеграл 19 таблиці Б.

г) . Використаємо підстановку . Отже, . Піднесемо обидві частини цієї рівності до квадрату і виконаємо очевидні перетворення. Отримаємо:

, , .

Тоді , а .

Отже, . Тепер потрібно поверну-тись до змінної , виходячи з рівності . Тому

Ми отримали інтеграл 20 з таблиці Б.

д) . Виконаємо заміну: , де , . Тоді . Тому

.

При обчисленні цього інтеграла використано формулу пониження степеня для косинуса, а також той факт, що для . Тепер потрібно повернутись до змінної :

; .

Тому

,

а це є інтеграл 21 з таблиці Б.