1.3.1. Інтегрування функцій, які містять квадратний тричлен

Розглянемо такі інтеграли

І. . ІІ. . ІІІ. .

ІV. . V.

В цих інтегралах – дійсні константи, причому . Інтеграли І, ІІ, ІІІ обчислюються шляхом виділення повного квадрата в квадратному тричлені з наступною заміною змінної. Покажемо цю процедуру на прикладі першого інтеграла І.

І. . Перетворимо підінтегральну функцію, виділивши повний квадрат в знаменнику:

.

Виконаємо підстановку та позначимо і . Тоді =

Перший інтеграл в дужках , другий – табличний інтеграл 18 або 19 таблиці Б. Залишається повернутись до змінної .

Приклад 7. Знайти інтеграл .

=

,

де .

Приклад 8. Знайти інтеграл .

Аналогічно як в попередньому прикладі, виділяємо повний квадрат.

=

.

Інтеграли ІV та V за допомогою підстановок відповідно та зводяться до інтеграла ІІІ.

Приклад 9. Знайти інтеграл , . Використовуємо підстановку . Тоді , . Тому

=

.

Приклад 10. Знайти інтеграл , . Використовуємо підстановку . Тоді . Тому .

1.3.2. Інтегрування раціональних функцій

Клас раціональних функцій поділяється на цілі і дробово-раціональні функції. Ціла раціональна функція – це многочлен

(13)

а дробово-раціональна функція – це відношення двох многочленів

(14)

Многочлен (13), очевидно, легко проінтегрувати. Отже, інтеграл від цілої раціональної функції є знову ціла раціональна функція. Якщо в дробово-раціо-нальній функції (14) , то таку функцію будемо називати правильним дро-бом, а коли , то неправильним дробом. Шляхом ділення многочлена на многочлен завжди можна неправильний дріб подати як суму многочлена і правильного дробу. Наприклад, виконавши ділення многочленів, отримаємо що

Отже, інтегрування неправильного дробу зводиться до інтегрування многочлена і правильного дробу. Опишемо методику інтегрування правильних дробів. З алгебри відомі наступні факти.

Кожен многочлен з дійсними коефіцієнтами може бути записаний у вигляді

(15)

,

де дійсні корені многочлена (13) кратності відповідно,

а – показники кратності спряжених комплексних коренів квадратних тричленів , . Як стверджує основна теорема алгебри

.

Наприклад,

.

Коренями цього многочлена є , , , .

є простий корінь: ; є кратний корінь кратності ; , є комп-лексно спряжені корені кратності .

Нехай – правильний дріб, а має зображення правої частини (15). Тоді

(16)

Дроби вигляду і , де , , – дійсні числа, а , – нату-ральні числа, називаються простими дробами. Подання дробу у вигляді (16) називається розкладанням правильного дробу на прості дроби.

Таким чином, інтегрування правильного дробу зводиться до інтегрування чотирьох видів простих дробів:

I. ; II. ; III. ; IV. .

Інтеграли I і II обчислюються легко:

I. .

II. .

Інтеграл III ми обчислили в параграфі 1.3.1 шляхом виділення повного квад-рата. Тому опускаючи проміжні перетворення запишемо, що

III. .

Обчислимо тепер інтеграл IV. Виконавши аналогічні перетворення як у випадку інтеграла III, отримаємо, що

, де ; .

В інтегралі виконуємо підстановку , тоді . Тому

.

В інтегралі в знаменнику виділяємо повний квадрат.

.

Цей інтеграл був обчислений в п. 1.2.3. шляхом отримання для нього рекурен-тної формули.

Отже, якщо , то маємо таку рекурентну формулу:

. (17)

Таким чином, інтеграли від дробово-раціональних функцій завжди виражаються через елементарні функції: дробово-раціональні функції, зокрема многочлени, через натуральні логарифми і арктангенси.

Приклад 11. Знайти інтеграл .

Підінтегральна функція є правильний дріб: степінь чисельника 2, а степінь знаменника 5. Тому розкладаємо даний дріб на прості дроби:

.

Для знаходження невідомих коефіцієнтів використовуємо метод невизначених коефіцієнтів. Прирівняємо чисельники дробів зліва і справа в цій рівності

( )

Якщо покласти в (*) , то отримаємо, що . Щоб отримати значення коефіцієнтів B,C,D,E прирівняємо коефіцієнти в (*) при степенях , , і . Отримаємо таку систему:

Тому

.

Тоді

,

де . Для цього інтеграла з (17) отримаємо, що , де . Тому . Отже,

.

Таким чином, для того щоб проінтегрувати дробово-раціональну функцію потрібно виконати такий алгоритм.

1. Якщо дріб неправильний, то розділити чисельник дробу на знаменник способом ділення многочлена на многочлен.

2. Записати неправильний дріб як суму многочлена і правильного дробу.

3. Правильний дріб записати як суму простих дробів, використовуючи при цьому метод невизначених коефіцієнтів.

4. Знайти інтеграли від многочлена і від простих дробів.