1.3.3. Інтегрування деяких ірраціональних функцій

Інтеграл від довільної ірраціональної функції є, взагалі кажучи, неелементар-ною функцією. Тому лише окремі класи ірраціональних функцій вдається зінтег-рувати в елементарних функціях. Інтегрування ірраціональних функцій здійснюється за допомогою підстановок, які дозволяють інтеграли від ірраціональних функцій звести до інтегралів від раціональних функцій.

Під ірраціональною функцією тут розуміємо явну алгебраїчну ірраціональну функцію – функцію, яку можна отримати шляхом виконання чотирьох арифметичних дій і дії добування кореня, виконаних скінченну кількість разів.

Нехай – раціональна функція своїх аргументів. Розглянемо інтегрування деяких алгебраїчних ірраціональностей.

І. Інтеграл . Тут – раціональні числа, . Заміною , де – спільний знаменник дробів , даний інтеграл зводиться до інтеграла від раціональної функції.

Приклад 12. Знайти інтеграл . Тут , , . Спільний знаменник цих дробів . Тому робимо заміну . Тоді , , , . Отже,

.

ІІ. Інтеграл підстановкою , де – спільний знаменник дробів , зводиться до інтеграла від раціональної функції.

Приклад 13. Знайти інтеграл .

Запишемо підінтегральну функцію так:

.

Тому . Виконаємо підстановку

. Тоді , , , . Отже,

.

ІІІ. Інтеграл зводиться до інтеграла від раціональної функції за допомогою однієї з трьох підстановок Ейлера.

1. Якщо , то використовується підстановка .

2. Якщо , то використовується підстановка .

3. Якщо – дійсні корені рівняння , то використовується підстановка ( або ).

Зауваження. Оскільки квадратний тричлен є під знаком квадрат-ного кореня, то . Якщо , то рівняння має два різні корені, або один кратний корінь і тому в цьому випадку застосовна третя підстановка Ейлера. Якщо ж , то необхідно . Тоді , а тому повинно бути . В цьому випадку можна використати першу або другу підстановку Ейлера. Отже, двох підстановок Ейлера ( першої і третьої ) досить для інтегрування даного вигляду інтегралів. Але ми будемо використовувати всі три підстановки в залежності від ситуації, яку продемонструємо на такому прикладі.

Приклад 14. Знайти інтеграл .

В даному випадку , . Тому можна застосувати другу підстановку Ейлера: . Але можна застосувати і третю підстановку Ейлера, оскільки рівняння має два дійсні різні корені: . Тому з огляду на вигляд коренів раціональнішою є саме друга підстановка Ейлера. Виходячи з неї, отримаємо:

, , , .

Тому =

.

На практиці підстановки Ейлера нерідко призводять до громіздких підінтегра-льних виразів. Тому їх слід використовувати лише у випадках, коли інших шляхів нема. Так, зокрема, не раціонально використовувати підстановки Ейлера для таких інтегралів:

, , .

Ці інтеграли були обчислені нами в п. 1.3.1 іншим способом.

Іv. Інтегрування біномних диференціалів

Розглянемо інтеграл від біномного диференціала , де – довільні дійсні числа, а – раціональні числа. П.Л.Чебишов довів, що даний інтеграл можна подати через елементарні функції лише в таких трьох випадках.

1. – ціле: заміна , де – спільний знаменник дробів та .

2. – ціле: підстановка , де – знаменник дробу .

3. – ціле: підстановка , де – знаменник дробу .

Якщо – ціле, то інтеграл від біномного диференціала зводиться до інтеграла І.

Тому розглянемо випадки 2 і 3.

Приклад 15. Знайти інтеграли: а) ; б) .

а) . Тут , , . Тоді – ціле. Маємо випадок 2. Використовуємо підстановку . Звідси .

Отже, .

б) . В цьому випадку , , . Тому – не ціле, але – ціле. Маємо третій випадок: підстановка . Тоді , , .

Отже,

.