3.Изучение основной тенденции развития

Основная тенденция развития (тренд) обусловлена постоянно действующими факторами. Воздействие случайных факторов проявляется периодически и вызывает колебания уровней рядов динамики. Задача статистики - выявить и измерить основную тенденцию развития. Решение этой задачи осуществляется с помощью следующих методов: укрупнение интервалов, метод скользящей средней, аналитическое выравнивание.

Метод укрупнения интервалов состоит в том, что данные интервалы ряда динамики заменяют более крупными (например, месячные - квартальными, годичные - пятилетними), и эти укрупненные интервалы характеризуют суммарными или средними величинами.

Пример.

Имеются следующие данные о производстве продукции, тыс. т.

Месяц года	Производство продукции	Месяц года	Производство продукции	Месяц года	Производство продукции	Месяц года	Производство продукции
I П Ш	151 146 152	IV V VI	151 154 145	VII VIII IX	149 147 155	X XI XII	153 146 154

Тенденция данного динамического ряда выражена нечетко. Для ее выявления укрупним интервалы до квартальных, в результате чего получим следующие результаты.

Квартал	Производство продукции, тыс. шт.
	суммарное	среднемесячное
I П Ш IV	151+146+152=449 151+154+145=450 149+147+155=451 153+146+154=453	449:3=149,7 450:3=150,0 451:3=150,3 453:3=151,0

Как видим, преобразованные ряды динамики из суммарных величин и средних четко выражают тенденцию роста производства продукции.

Метод скользящей средней основан на свойстве средней погашать случайные отклонения от общей закономерности. Расчет скользящей средней осуществляется по средней арифметической простой из заданного числа уровней ряда (шага), с отбрасыванием при вычислении каждой новой средней предыдущего уровня и присоединением следующего. В результате расчет средней как бы скользит от начала ряда динамики к его концу. При нечетном шаге каждая вычисленная скользящая средняя соответствует реальному интервалу (моменту) времени, находящемуся в середине шага, а число сглаженных уровней меньше первоначального числа уровней на величину шага скользящей средней, уменьшенного на единицу.

Если шаг скользящей средней выражен четным числом, то полученные скользящие средние центрируют. Операция центрирования заключается в повторном скольжении с шагом, равным двум. Число уровней сглаженного ряда будет меньше на величину шага скользящей средней.

Используя данные приведенного выше примера проведем сглаживание ряда методом скользящей средней:

а) трехмесячной

Месяцы	Производство продукции (тыс. шт.)	Расчет скользящих средних	Сглаженные уровни ряда
Январь	151	-	-
Февраль	146	(151+146+152):3	149,7
Март	152	(146+152+151):3	149,7
Апрель	151	(152+151+154):3	152,3
Май	154	(151+154+142):3	149,0
Июнь	145	(154+145+149):3	149,3
Июль	149	(145+149+147):3	147,0
Август	147	(149+147+155):3	150,3
Сентябрь	155	(147+155+153):3	151,7
Октябрь	153	(155+153+146):3	151,3
Ноябрь	146	(153+146+154):3	151,0
Декабрь	154	-	-

б) четырехмесячной

Месяцы	Производство продукции, тыс. т.	Расчет скользящих средних	Центрирование скользящих средних	Сглаженные уровни ряда
Январь	151		-
Февраль	146		-
Март	152	(151+146+152+151):4=150,00 (146+152+151+154):4=150,75 (152+151+154+145):4=150,50 (151+154+145+149):4=148,25 (154+145+149+147):4=148,75 (145+149+147+155):4=149,00 (149+147+155+153):4=151,00 (147+155+153+146):4=150,25 (155+153+146+154):4=152,00	(150,00+150,75):2	150,385
Апрель	151		(150,75+150,50):2	150,625
Май	154		(150,50+148,25):2	149,375
Июнь	145		(148,25+148,75):2	148,500
Июль	149		(148,75+149,00):2	148,875
Август	147		(149,00+151,00):2	150,000
Сентябрь	155		(151,00+150,25):2	150,625
Октябрь	153		(150,25+152,00):2	151,125
Ноябрь	146
Декабрь	154		-

Аналитическое выравнивание ряда динамики. Изменение уровней ряда динамики с той или иной степенью точности может быть представлено в виде определенной математической формулы (функции), отражающей общую тенденцию развития (тренд). Аналитическое выравнивание ряда динамики может быть осуществлено либо по формуле прямой линии, либо по параболе второго порядка, либо по показательной (экспонентной) функции.

Выбор формулы уравнения производится на основе теоретического анализа законов развития, характера динамики изучаемого явления.

Если изменение уровней ряда характеризуется равномерным увеличением (уменьшением) уровней, когда абсолютные цепные приросты близки по величине, тенденцию развития характеризует уравнение прямой линии:

,

где - выравненные, теоретические уровни ряда динамики, исчисленные по аналитическому уравнению;

- показатель времени;

и - параметры уравнения.

Если в результате анализа типа тенденции динамики установлена криволинейная зависимость с примерно постоянным ускорением, то форма тенденции выражается уравнением параболы второго порядка

Если рост уровней ряда динамики происходит в геометрической прогрессии, т.е. цепные коэффициенты роста более или менее постоянны, выравнивание ряда динамики ведется по показательной функции

Выбор типа линии, выражающей тенденцию развития, можно произвести, используя графическое изображение ряда динамики (линейную диаграмму).

Методику аналитического выравнивания рассмотрим на следующем примере. Имеются следующие данные об изменении объёма строительно-монтажных работ по строительному управлению (в сопоставимых ценах).

Годы	1998	1999	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006
СМР, д.е.	63,5	69,8	64,7	70,8	77,5	82,4	86,1	83,3	85,9

Представим данные ряда динамики в виде линейной диаграммы.

Рис. 1

Из графика видно, что в данном случае следует избрать для выравнивания уравнение прямой:

Параметры и этой прямой определим по способу наименьших квадратов, решением следующей системы нормальных уравнений:

,

где - фактические уровни ряда;

- число уровней ряда динамики;

- условное обозначение времени.

Если начало условного отсчета времени поместить в середину изучаемого периода, то будет равна 0. Это значительно упростит решение данной системы, т.к. при =0 она примет следующий вид:

отсюда , .

Расчеты необходимых значений для определения параметров и произведем в расчетной таблице.

Годы	Эмпирический ряд ( )	Условное обозначение дат ( )			Выравненный ряд динамики
1998	53,5	-4	-254 -209,4 -129,4 - 70,8 0 +82,4 +172,2 +149,9 +343,6	16	64,37
1999	69,8	-3		9	67,27
2000	64,7	-2		4	70,18
2001	70,8	-1		1	73,10
2002	77,5	0		0	76,00
2003	82,4	+1		1	78,91
2004	86,1	+2		4	81,82
2005	83,3	+3		9	84,72
2006	85,9	+4		16	87,63

;

тогда уравнение прямой будет иметь вид:

По этому уравнению найдем теоретические значения уровней ряда динамики и нанесем их на график, впишем в таблицу.

1998г.

1999г.

2000г. и т.д.

Правильность расчета выровненных уровней доказывает равенство и (684=684)

Параметр в данном случае соответствует величине срединного уровня теоретического ряда динамики (в точке времени принятого за начало отсчета при =0), параметр характеризует средний абсолютный прирост уровней ряда динамики за единицу времени .

Если ряд динамики имеет четное число уровней, то условное обозначение времени производится следующим образом:

Даты	1	2	3	4	5	6
	-5	-3	-1	+1	+3	+5

В этом случае значение параметра лишено реального смысла, а параметр характеризует средний абсолютный прирост уровней ряда за половину периода. Используя определенное выше уравнение обшей тенденции развития явления (уравнение тренда), можно с достаточной точностью сделать прогноз на будущее (экстраполяция). Однако пользоваться экстраполяцией следует с большой осторожностью, только тогда, когда есть уверенность в том, что условия формирования уровней ряда динамики не изменяются.

Нахождение неизвестного уровня внутри ряда динамики называют интерполяцией. Находят его путём определения средней величины из двух (иногда четырёх) членов ряда, непосредственно примыкающих к неизвестному члену ряда.

ТЕМА: ИНДЕКСНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА