2. Определение ошибки выборочной средней.

Средняя величина признака в генеральной совокупности будет определена по следующей формуле:

,

где - средняя величина признака в выборочной совокупности;

- предельная ошибка выборки.

В математической статистике доказано, что , где t - коэффициент доверия, зависящий от значения вероятности Р и определяемый по таблице значений P(t); - средняя ошибка.

При вероятности Р=0,683 значение t=1;

при Р=0,954 t=2;

при Р=0,997 t=3.

Для собственно случайной и механической выборки средняя ошибка при повторном отборе вычисляется по формуле:

где - дисперсия количественного признака, определяемая по формуле:

или ,

n – число единиц выборочной совокупности.

При бесповторном отборе

где N – численность генеральной совокупности.

Средняя ошибка выборки для типической и серийной выборки рассчитывается по тем же формулам с той лишь разницей, что:

1. при типической выборке используется средняя из групповых дисперсий:

,

где - групповая дисперсия;

- число единиц в группе.

2. При серийной выборке – межгрупповая дисперсия:

,

где - групповая средняя

- общая средняя.

Кроме того, при серийном отборе формула средней ошибки выборки имеет следующий вид:

,

где s – число серий в выборке;

S – число серий в генеральной совокупности.

3. Определение ошибки выборочной доли.

Доля единиц, обладающих тем или иным признаком в генеральной совокупности

,

где - доля единиц, обладающих данным признаком в выборочной совокупности;

- предельная ошибка выборочной доли.

,

где - средняя ошибка выборочной доли.

Средняя ошибка выборочной доли определяется по следующим формулам:

1. для собственно случайной выборки:

при повторном отборе: ;

при бесповторном отборе: ;

1. для механической выборки: ;

1. для типической выборки: ;

3. для серийной выборки

4.Определение необходимой численности выборки

В практике организации выборочного наблюдения возникает потребность определения необходимой численности выборки для обеспечения заданной точности предельной ошибки выборки и ее вероятности. Определение необходимой численности выборки основывается на формуле предельной ошибки выборки.

Из формулы предельной ошибки выборки среднего значения признака при повторном отборе

находим .

При бесповторном случайном отборе необходимая численность выборки вычисляется по формуле: .

При типической выборке: .

При серийной выборке .

Необходимая численность выборки при определении доли исчисляется по аналогичным формулам с той разницей, что вместо дисперсии количественного признака, используется дисперсия альтернативного признака.

Так, для случайной бесповторной выборки формула необходимой численности выборки будет иметь следующий вид:

Пример 1

Из 1000 рабочих предприятия в порядке случайной бесповторной выборки обследовано 100 человек, которые по уровню дневной выработки распределились так:

Дневная выработка (шт.)	30-40	40-50	50-60	60-70	Итого
Число рабочих	30	33	24	13	100

По этим данным установить:

1. среднюю дневную выработку одного рабочего предприятия с вероятностью 0,954.

2. Долю рабочих предприятия с дневной выработкой 60 штук и более с вероятностью 0,683.

3. Объем выборки, чтобы с вероятностью 0,954 предельная ошибка выборки при определении средней выработки не превышала 2-х штук.

4. Объем выборки, чтобы с вероятностью 0,954 предельная ошибка выборки при определении доли рабочих с дневной выработкой 60 штук и более не превышала 6%.

Решение:

1) 

В нашем примере объем выборки (n)=100 рабочих. Численность генеральной совокупности (N) 1000 рабочих.

Для нахождения выборочной средней ( ) и выборочной дисперсии ( ) составим расчетную таблицу:

Таблица 4

Дневная выработка, шт.	Число рабочих (f)	x	x-A (A=45)	K=10 (x’)
30-40 40-50 50-60 60-70	30 33 24 13	35 45 55 65	-10 0 +10 +20	-1 0 +1 +2	-30 0 +24 +26	1 0 1 4	30 0 24 52
Итого	100	х	х		20	х	106

При вероятности 0,954 t=2, тогда шт.

С вероятностью 0,954 можно утверждать, что средняя дневная выработка одного рабочего предприятия находится в пределах шт.,т.е. будет не меньше 45,08 и не больше 48,92 штук.

2) 

Выборочная доля рабочих с дневной выработкой 60 штук и более по условию задачи равна: , а выборочная дисперсия доли

Средняя ошибка доли:

при вероятности 0,683 t=1, тогда

Следовательно, с вероятностью 0,683 можно утверждать, что доля рабочих предприятия с дневной выработкой 60 шт. и более находится в пределах 13 3,2 или от 9,8 до 16,2%.

3)  рабочих.

Для того, чтобы предельная ошибка выборки с вероятностью 0,954 (при дисперсии = 102) не превышала 2-х штук, достаточно подвергнуть выборочному обследованию 93 рабочих.

4)  рабочих.

Для того, чтобы предельная ошибка выборки при вероятности 0,954 не превышала 6%, необходимо подвергнуть выборочному обследованию 112 рабочих.