Пример 2

Из 2500 рабочих трёх цехов завода подвергнуто пропорциональному типическому отбору 200 человек, которые по проценту выполнения норм выработки распределились следующим образом:

Число рабочих по профессиям % выпол- нения норм выработки	Слесари	Токари	Шлифовщики	Итого
90-100	2	20	18	40
100-110	8	40	12	60
110-120	30	40	30	100
Итого	40	100	60	200

Принимая, что в каждой группе произведена случайная повторная выборка, определить:

1. Возможные пределы среднего процента выполнения норм выработки всеми рабочими завода (с вероятностью 0,954).

2. Возможные пределы доли рабочих, выполняющих нормы выработки не менее чем на 100% (с вероятностью 0,997).

3. Необходимую численность выборки при определении среднего процента выполнения норм выработки, чтобы с вероятностью 0,954, предельная ошибка выборки не превышала 1%.

4. Необходимую численность выборки при определении доли рабочих, выполняющих нормы выработки не менее чем на 100%, чтобы предельная ошибка выборки не превышала 3% (с вероятностью 0,954).

Решение:

1. Средняя ошибка выборочной средней при типической выборке (повторный отбор) исчисляется по формуле:

где - средняя внутригрупповая дисперсия, равная средней взвешенной из дисперсий отдельных типических групп.

Для нахождения выборочной средней и средней внутригрупповой дисперсии составим расчётную таблицу:

Таблица 5

Расчетная таблица

% выполнения норм выработки		Число рабочих				( = =105)	( =10)
		Слесари	Тока- ри	Шлифов-щики	Итого
90-100	95	2	20	18	40	-10	-1	1	-2	2	-20	20	-18	18	-40
100-110	105	8	40	12	60	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
110-120	115	30	40	30	100	+10	+1	1	+30	30	+40	+40	30	30	+100
Итого	x	40	100	60	200	x			28	32	20	60	12	48	60

Определяем выборочную среднюю:

Дисперсии типических групп (внутригрупповые дисперсии) определим по формуле:

Средняя ошибка выборки будет равна:

Предельная ошибка выборки составит:

.

Следовательно, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что средний процент выполнения норм выработки всеми рабочими завода находится в пределах , т.е. от 106,94% до 109,06%.

2. Выборочная доля

Средняя ошибка выборочной доли при типическом повторном отборе определяется по формуле:

;

;

;

Средняя ошибка доли будет равна:

.

Тогда предельная ошибка: .

Следовательно, с вероятностью 0,997, можно утверждать, что доля рабочих завода, выполняющих нормы выработки не менее, чем на 100%, находится в пределах , т. е. от 71,72% до 88,28%.

3. Объём выборки, обеспечивающий предельную ошибку выборки не более чем 1%, будет равен (с вероятностью 0,954)

рабочих.

4. Объём выборки при исчислении доли, обеспечивающий предельную ошибку выборки не более чем на 3% (с вероятностью 0,954)

рабочих.

Пример 3

Из 30 бригад (по 10 человек каждая) отобрано 3 бригады, рабочие которых распределились по возрасту следующим образом:

№ бригады	Возраст рабочих (лет)
5	35, 42, 28, 23, 51, 18, 36, 29, 46, 32
15	18, 24, 49, 32, 54, 43, 27, 38, 51, 26
25	50, 44, 36, 28, 23, 41, 31, 24, 46, 33

Определить:

1. с вероятностью 0,683 средний возраст рабочих всех 30 бригад;

2. объём выборки, обеспечивающий с вероятностью 0,997 предельную ошибку выборки, не превышающую 1 года.

Средний возраст рабочих по каждой бригаде определим по формуле средней арифметической простой, как сумму возрастов всех рабочих бригады, делённую на число рабочих.

Так, средний возраст рабочих первой серии (бр. №5) будет равен

года

Аналогичным образом определяем средний возраст рабочих следующих серий:

второй = года,

третьей = года.

Средний возраст рабочих выборочной совокупности составит года.

Для серийной выборки

,

где - межгрупповая дисперсия, определяемая по формуле

.

Поскольку численность всех бригад одинаковая, можно использовать не взвешенную среднюю

Тогда

года

.

С вероятностью 0,683 мы можем утверждать, что средний возраст всех рабочих будет не меньше 34,69 года и не больше 35,71 года.

2) бригад.

Объём выборки, обеспечивающий с вероятностью 0,997 предельную ошибку выборки, не превышающую 1 года должен быть не менее 7 бригад

.