7. Метод принятия решений в условиях известных состояний природы

Формально изучение игр с природой, так же как и стратегических, должно начинаться с построения платежной мат­рицы, что является, по существу, наиболее трудоемким этапом под­готовки принятия решения. Ошибки в платежной матрице не могут быть компенсированы никакими вычислительными методами и приведут к неверному итоговому результату.

Отличительная особенность игры с природой состоит в том, что в ней сознательно действует только один из участников, в большинстве случаев называемый игроком 1. Игрок 2 (природа) сознательно против игрока 1 не действует, а выступает как не имеющий конкретной цели и случайным образом выбирающий очередные «ходы» партнер по игре. Поэтому термин «природа» характеризует некую объективную действительность, которую не следует понимать буквально, хотя вполне могут встретиться ситуации, в которых «игроком» 2 действительно может быть природа (например, обстоятельства, связанные с погодными ус­ловиями или с природными стихийными силами).

На примере игры с природой рассмотрим проблему заготов­ки угля на зиму.

Задача 3.1. Необходимо закупить уголь для обогрева дома. Количество хранимого угля ограничено и в течение холодного периода должно быть полностью израсходовано. Предполагает­ся, что неизрасходованный зимой уголь в лето пропадает. Поку­пать уголь можно в любое время, однако летом он дешевле, чем зимой. Неопределенность состоит в том, что не известно, какой будет зима: суровой, тогда придется докупать уголь, или мягкой, тогда часть угля может остаться неиспользованной. Очевидно, что у природы нет злого умысла и она ничего против человека «не имеет». С другой стороны, долгосрочные прогнозы, состав­ляемые метеорологическими службами, неточны и поэтому мо­гут использоваться в практической деятельности только как ори­ентировочные при принятии решений.

Решение. Матрица игры с природой аналогична матрице стратегической игры: А = ||аij||, где аij - выигрыш игрока 1 при реализации его чистой стратегии i и чистой стратегии j игрока 2 (i = 1, ..., m; j = 1, ..., п).

Мажорирование стратегий в игре с природой имеет определенную специфику: исключать из рассмотрения можно лишь доминируемые стратегии игрока 1: если для всех j=1, ..., п , k, l = 1, ..., т, то k-ю стратегию принимающего решения игрока 1 можно не рассматривать и вычеркнуть из мат­рицы игры. Столбцы, отвечающие стратегиям природы, вычер­кивать из матрицы игры (исключать из рассмотрения) недопус­тимо, поскольку природа не стремится к выигрышу в «игре» с человеком, для нее нет целенаправленно выигрышных или про­игрышных стратегий, она действует неосознанно*.

* Впрочем, в матричных представлениях игр с природой значения выигры­шей принимающего решения игрока не всегда располагаются по строкам. Это допустимо делать и по столбцам, принимая ЛПР как игрока 2, понимая, одна­ко, что мажорировать можно только стратегии принимающего решения игрока. Такой подход осуществлен в некоторых задачах, представленных в гл. 6 - 8 настоящего учебного пособия.

8. Принятие решений в условиях неопределенности. Критерии принятия решения в условиях неопределенности.

Рассмотрим 4 критерия принятия решений в условиях неопределенности, когда никакие вероятностные характеристики не известны.

• критерий Лапласа

• минимаксный критерий

• критерий Сэвиджа

• критерий Гурвица.

Критерий Лапласа.

Критерий Лапласа опирается на принцип недостаточного основания, который гласит, что, поскольку распределение вероятностей состояний P(si) неизвестно, нет причин считать их различными. Следовательно, используется оптимистическое предположение, что вероятности всех состояний природы равны между собой, т.е.P{s1} = P{s2} = ... = P{sn} = 1/n. Если при этом v(аi, sj) представляет получаемую прибыль, то наилучшим решением является то, которое обеспечивает.

Если величина v(аi, sj) представляет расходы лица, принимающего решение, то оператор "max" заменяется на "min".

Минимаксный (максиминный) критерий

Максиминный (минимаксный) критерий основан на консервативном осторожном поведении лица, принимающего решение, и сводится к выбору наилучшей альтернативы из наихудших. Если величина v(аi, sj) представляет получаемую прибыль, то в соответствии с максиминным критерием в качестве оптимального выбирается решение, обеспечивающее

Если величина v(аi, sj) представляет потери, используется минимаксный критерий, который определяется следующим соотношением.

Критерий  Сэвиджа.

Критерий Сэвиджа стремится смягчить консерватизм минимаксного (максиминного) критерия путем замены матрицы платежей (выигрышей или проигрышей) v(аi, sj) матрицей потерь r(аi, sj), которая определяется следующим образом.

Чтобы показать, как критерий Сэвиджа "смягчает" минимаксный (максиминный) критерий, рассмотрим следующую матрицу платежей v(аi, sj):

,	s1	s2	Максимум строк
а1	11000	90	11000
а2	10000	10000	10000 - минимакс

Применение минимаксного критерия приводит к тому, что решение а2 с фиксированными потерями в 10000 долл. является предпочтительным. Однако можно выбрать и а1 так как в этом случае существует возможность потерять лишь 90 долл., если реализуется состояние s2, при потенциальном выигрыше 11 000 долл. Посмотрим, какой результат получится, если в минимаксном критерии вместо матрицы платежей v(аi, sj) использовать матрицу потерь r(аi, sj).

,	s1	s2	Максимум строк
а1	1000	0	1000 - минимакс
а2	0	9910	9910

Как видим, минимаксный критерий, применяемый к матрице потерь, приводит к выбору решения а1 в качестве предпочтительного.

Критерий Гурвица.

Э тот критерий охватывает ряд различных подходов к принятию решений — от наиболее оптимистичного до наиболее пессимистичного (консервативного). Пусть 0 <= а <= 1 и величины v(аi, sj) представляют доходы. Тогда решению, выбранному по критерию Гурвица, соответствует

Параметр α - показатель оптимизма.

Если α = 0, критерий Гурвица становится консервативным, так как его применение эквивалентно применению обычного минимаксного критерия.

Если α = 1, критерий Гурвица становится слишком оптимистичным, ибо рассчитывает на наилучшие из наилучших условий.

Можно конкретизировать степень оптимизма (или пессимизма) надлежащим выбором величины α интервала [0,1]. При отсутствии ярко выраженной склонности к оптимизму или пессимизму выбор α = 0,5 представляется наиболее разумным.

Если величины v(аi, sj) представляют потери, то критерий принимает следующий вид: