4. Управление проектами

С точки зрения теории графов проект – совокупность операций и зависимостей между ними (сетевой

график – см. ниже). Хрестоматийным примером является проект строительства некоторого объекта. Совокупность моделей и методов, использующих язык и результаты теории графов и ориентированных на решение задач управления проектами, получила название календарно-сетевого планирования и управления (КСПУ)

В рамках КСПУ решаются задачи определения последовательности выполнения операций и распределения ресурсов между ними, оптимальных с точки зрения тех или иных критериев (времени выполнения проекта, затрат, риска и др.).

5. Модели коллективов и групп, используемые в социологии, основываются на представлении людей или их групп в виде вершин, а отношений между ними (например, отношений знакомства, доверия, симпатии и т.д.) – в виде ребер или дуг. В рамках подобного описания решаются задачи исследования структуры социальных групп, их сравнения, определения агрегированных показателей, отражающих степень напряженности, согласованности взаимодействия и др.

6. Модели организационных структур, в которых вершинами являются элементы организационной системы, а ребрами или дугами – связи (информационные, управляющие, технологические и др.) между ними

7. Классическая когнитивная карта – это ориентированный граф, в котором привилегированной вершиной является некоторое будущее (как правило, целевое) состояние объекта управления, остальные вершины соответствуют факторам, дуги, соединяющие факторы с вершиной состояния имеют толщину и знак, соответствующий силе и направлению влияния данного фактора на переход объекта управления в данное состояние, а дуги, соединяющие факторы показывают сходство и различиев влиянии этих факторов на объект управления.

4. Случайные величины и их распределения. Идентификация случайных явлений. Оценки параметров. Проверка гипотез. Метод Монте-Карло. Регрессия.

Хуй поймешь. Нету регрессии, метода монте-карло, проверки гипотез.

Случайная величина – числовая функция, заданная на пространстве элементарных событий и измеримая относительно поля событий.

Пространство элементарных событий — множество Ω всех различных исходов случайного эксперимента.

Случайная величина – это величина, которая принимает в результате опыта одно из множества значений, причём появление того или иного значения этой величины до её измерения нельзя точно предсказать.

Распределение числовой случайной величины – это функция, которая однозначно определяет вероятность того, что случайная величина принимает заданное значение или принадлежит к некоторому заданному интервалу.

Закон больших чисел – статистический закон, выражающий связь статистических показателей (параметров) выборочной и генеральной совокупности. Фактические значения статистических показателей, полученные по некоторой выборке, всегда отличаются от т.н. теоретических значений, свойственных генеральной совокупности. З.Б.Ч. состоит в том, что фактические данные все более приближаются к теоретическим ожидаемым значениям по мере возрастания числа наблюдений, т.е. при увеличении объема выборки происходит взаимное "погашение" индивидуальных отклонений от некоторого уровня, свойственного генеральной совокупности в целом, и проявляется закономерность, лежащая в основе изучаемого явления. Из З.Б.Ч. следует, что для каждого параметра генеральной совокупности может быть рассчитан минимальный объем выборочной совокупности, при котором (при условии обеспечения репрезентативности выборки) разница между теоретическим и фактическим значениями параметров не превышает заданной величины.

Дискретной случайной величиной называется случайная величина, принимающая конечное счетное число отдельных изолированных значений.

Альтернативная случайная величина:

Биномиальная величина – число положительных исходов в схеме Бернулли:

Непрерывной случайной величиной называется случайная величина, принимающая значение на непрерывном подмножестве числовой прямой.

Пуассоновская случайная величина – предельный случай биномиальной величины, когда . Значениями являются все положительные числа от 0 до ∞.

Математическое ожидание случайной величины – средневзвешенное ее значение с весами – ее вероятностями.

Свойства математического ожидания:

1) МС=С*1=С

2) М(СХ)=СМХ

3) М(Х+У)=МХ+МУ

4) МХУ=МХ*МУ (Х и У – независимы)

Дисперсия характеризует степень разброса значений случайной величины от математического ожидания.

Свойства дисперсии:

1) DC=0

2) D(CX)=C²DX

3) D(X+Y)=DX+DY (X и Y независимы)

Ковариация – математическое ожидание произведения отклонений случайных величин от своих математических ожиданий.

Cov(X,Y)=M(X-MX)M(Y-MY)

Функция распределения вероятности

P – вероятность, имеющая своим значением вероятности накопленных до х значений случайных величин.

Непрерывные величины делятся на классы:

Абсолютно непрерывные

Смешанные (обладают свойствами и дискретных, и абсолютно непрерывных)

Абсолютно непрерывной величиной называется величина, функция распределения которой:

Функция плотности распределения вероятности

Равномерная случайная величина

Показательная случайная величина

Закон Гаусса (нормальное распределение)

Случайная величина – центрированная, если МХ=0.

Случайная величина – нормированная, если DX=1.

Теорема Ляпунова

Пусть имеется последовательность независимых случайных величин, удовлетворяющих условию Линдеберга, тогда функция распределения центрированной и нормированной суммы этих случайных величин сходится к функции распределения стандартной нормальной случайной величины.

MX_i=a_i, DX_i=σ_i²

,

Проверка гипотез Методика состоит в следующем.

1. Формулируется нулевая гипотеза   о распределении вероятностей на множестве  . Гипотеза формулируется исходя из требований прикладной задачи. Чаще всего рассматриваются две гипотезы — основная или нулевая   и альтернативная  . Иногда альтернатива не формулируется в явном виде; тогда предполагается, что   означает «не  ». Иногда рассматривается сразу несколько альтернатив. В математической статистике хорошо изучено несколько десятков «наиболее часто встречающихся» типов гипотез, и известны ещё сотни специальных вариантов и разновидностей. Примеры приводятся ниже.

2. Задаётся некоторая статистика (функция выборки)  , для которой в условиях справедливости гипотезы   выводится функция распределения   и/или плотность распределения  . Вопрос о том, какую статистику надо взять для проверки той или иной гипотезы, часто не имеет однозначного ответа. Есть целый ряд требований, которым должна удовлетворять «хорошая» статистика  . Вывод функции распределения   при заданных   и   является строгой математической задачей, которая решается методами теории вероятностей; в справочниках приводятся готовые формулы для  ; в статистических пакетах имеются готовые вычислительные процедуры.

3. Фиксируется уровень значимости — допустимая для данной задачи вероятность ошибки первого рода, то есть того, что гипотеза на самом деле верна, но будет отвергнута процедурой проверки. Это должно быть достаточно малое число  . На практике часто полагают  .

4. На множестве допустимых значений статистики   выделяется критическое множество   наименее вероятных значений статистики  , такое, что  . Вычисление границ критического множества как функции от уровня значимости   является строгой математической задачей, которая в большинстве практических случаев имеет готовое простое решение.

5. Собственно статистический тест (статистический критерий) заключается в проверке условия:

   • если  , то делается вывод «данные противоречат нулевой гипотезе при уровне значимости  ». Гипотеза отвергается.

   • если  , то делается вывод «данные не противоречат нулевой гипотезе при уровне значимости  ». Гипотеза принимается.