5. 2.3. Частота, или статистическая вероятность, события

Формула (2.2.1) для непосредственного подсчета вероятностей применима только, когда опыт, в результате которого может появиться интересующее нас событие, обладает симметрией возможных исходов (сводится к схеме случаев). Очевидно, что далеко не всякий опыт может быть сведен к схеме случаев, и существует обширный класс событий, вероятности которых нельзя вычислить по формуле  (2.2.1). Рассмотрим, например, неправильно выполненную, несимметричную игральную кость. Выпадение определенной грани уже не будет характеризоваться вероятностью 1/6; вместе с тем ясно, что для данной конкретной несимметричной кости выпадение этой грани обладает некоторой вероятностью, указывающей, насколько часто в среднем должна появляться данная грань при многократном бросании. Очевидно, что вероятности таких событий, как «попадание в цель при выстреле», «выход из строя радиолампы в течение одного часа работы» или «пробивание брони осколком снаряда», также не могут быть вычислены по формуле (2.2.1), так как соответствующие опыты к схеме случаев не сводятся. Вместе с тем ясно, что каждое из перечисленных событий обладает определенной степенью объективной возможности, которую в принципе можно измерить численно и которая при повторении подобных опытов будет отражаться в относительной частоте соответствующих событий. Поэтому мы будем считать, что каждое событие, связанное с массой однородных опытов, - сводящееся к схеме случаев или нет, - имеет определенную вероятность, заключенную между нулем и единицей. Для событий, сводящихся к схеме случаев, эта вероятность может быть вычислена непосредственно по формуле (2.2.1). Для событий, не сводящихся к схеме случаев, применяются другие способы определения вероятностей. Все эти способы корнями своими уходят в опыт, в эксперимент, и для того, чтобы составить представление об этих способах, необходимо уяснить себе понятие частоты события и специфику той органической связи, которая существует между вероятностью и частотой.

Если произведена серия из   опытов, в каждом из которых могло появится или не появиться некоторое событие , то частотой события   в данной серии опытов называется отношение числа опытов, в которых появилось событие , к общему числу произведенных опытов.

Частоту события часто называют его статистической вероятностью (в отличие от ранее введенной «математической» вероятности).

Условимся обозначать частоту (статистическую вероятность) события   знаком  . Частота события вычисляется на основании результатов опыта по формуле

, (2.3.1)

где  – число появления события ;   – общее число произведенных опытов.

При небольшом числе опытов частота события носит в значительной мере случайный характер и может заметно изменяться от одной группы опытов к другой. Например, при каких-то десяти бросаниях монеты вполне возможно, что герб появится только два раза (частота появления герба будет равна 0,2); при других десяти бросаниях мы вполне можем получить 8 гербов (частота 0,8). Однако при увеличении числа опытов частота все более теряет случайный характер; случайные обстоятельства, свойственные каждому отдельному опыту, в массе взаимно погашаются, и частота проявляет тенденцию стабилизироваться, приближаясь с незначительными колебаниями к некоторой средней, постоянной величине. Например, при многократном бросании монеты частота появления герба будет лишь незначительно уклоняться от ½.

Это свойство «устойчивости частот», многократно проверенное экспериментально и подтверждающееся всем опытом практической деятельности человечества, есть одна из наиболее характерных закономерностей, наблюдаемых в случайных явлениях. Математическую формулировку этой закономерности впервые дал Я. Бернулли в своей теореме, которая представляет собой простейшую форму закона больших чисел. Я. Бернулли доказал, что при неограниченном увеличении числа однородных независимых опытов с практической достоверностью можно утверждать, что частота события будет сколь угодно мало отличаться от его вероятности в отдельном опыте.

Связь между частотой события и его вероятностью – глубокая, органическая связь. Эти два понятия по существу неразделимы. Действительно, когда мы оцениваем степень возможности какого-либо события, мы неизбежно связываем эту оценку с большей или меньшей частотой появления аналогичных событий на практике. Характеризуя вероятность события каким-то числом, мы не можем придать этому числу иного реального значения и иного практического смысла, чем относительная частота появления данного события при большом числе опытов. Численная оценка степени возможности события посредством вероятности имеет практический смысл именно потому, что более вероятные события происходят в среднем чаще, чем менее вероятные. И если практика определенно указывает на то, что при увеличении числа опытов частота события имеет тенденцию выравниваться, приближаясь сквозь ряд случайных уклонений к некоторому постоянному числу, естественно предположить, что это число и есть вероятность события.

Проверить такое предположение мы, естественно, можем только для таких событий, вероятности которых могут быть вычислены непосредственно, т.е. для событий, сводящихся к схеме случаев, так как только для этих событий существует точный способ вычисления математической вероятности. Многочисленные опыты, производящиеся со времен возникновения теории вероятностей, действительно подтверждают это предположение. Они показывают, что для события, сводящегося к схеме случаев, частота события при увеличении числа опытов всегда приближается к его вероятности. Вполне естественно допустить, что и для события, не сводящегося к схеме случаев, тот же закон остается в силе и что постоянное значение, к которому при увеличении числа опытов приближается частота события, представляет собой не что иное, как вероятность события. Тогда частоту события при достаточно большом числе опытов можно принять за приближенное значение вероятности. Так и поступают на практике, определяя из опыта вероятности событий, не сводящихся к схеме случаев.

Следует отметить, что характер приближения частоты к вероятности при увеличении числа опытов несколько отличается от «стремления к пределу» в математическом смысле этого слова.

Когда в математике мы говорим, что переменная   с возрастанием   стремиться к постоянному пределу  , то это означает, что разность   становится меньше любого положительного числа   для всех значений  , начиная с некоторого достаточно большого числа.

Относительно частоты события и его вероятности такого категорического утверждения сделать нельзя. Действительно, нет ничего физически невозможного в том, что при большом числе опытов частота события будет значительно уклоняться от его вероятности; но такое значительное уклонение является весьма маловероятным, тем менее вероятным, чем большее число опытов произведено. Например, при бросании монеты 10 раз физически возможно (хотя и маловероятно), что все 10 раз появится герб, и частота появления герба будет равна 1; при 1000 бросаниях такое событие все еще остается физически возможным, но приобретает настолько малую вероятность, что его смело можно считать практически неосуществимым. Таким образом, при возрастании числа опытов частота приближается к вероятности, но не с полной достоверностью, а с большой вероятностью, которая при достаточно большом числе опытов может рассматриваться как практическая достоверность.

В теории вероятностей чрезвычайно часто встречается такой характер приближения одних величин к другим, и для его описания введен специальный термин: «сходимость по вероятности».

Говорят, что величина   сходится по вероятности к величине  , если при сколь угодно малом   вероятность неравенства   с увеличением   неограниченно приближается к единице.

Применяя этот термин, можно сказать, что при увеличении числа опытов частота события не «стремится» к вероятности события, а «сходится к ней по вероятности».

Это свойство частоты и вероятности, изложенное здесь пока без достаточных математических оснований, просто на основании практики и здравого смысла, составляет содержание теоремы Бернулли, которая будет доказана нами в дальнейшем (см. гл. 13).

Таким образом, вводя понятие частоты события и пользуясь связью между частотой и вероятностью, мы получаем возможность приписать определенные вероятности, заключенные между нулем и единицей, не только событиям, которые сводятся к схеме случаев, но и тем событиям, которые к этой схеме не сводятся; в последнем случае вероятность события может быть приближенно определена по частоте события при большом числе опытов.

В дальнейшем мы увидим, что для определения вероятности события, не сводящегося к схеме случаев, далеко не всегда необходимо непосредственно определять из опыта его частоту. Теория вероятностей располагает многими способами, позволяющими определять вероятности событий косвенно, через вероятности других событий, с ними связанных. В сущности, такие косвенные способы и составляют основное содержание теории вероятностей. Однако и при таких косвенных методах исследования, в конечном счете, все же приходится обращаться к экспериментальным данным. Надежность и объективная ценность всех практических расчетов, выполненных с применением аппарата теории вероятностей, определяется качеством и количеством экспериментальных данных, на базе которых этот расчет выполняется.

Кроме того, при практическом применении вероятностных методов исследования всегда необходимо отдавать себе отчет в том, действительно ли исследуемое случайное явление принадлежит к категории массовых явлений, для которых, по крайней мере, на некотором участке времени, выполняется свойство устойчивости частот. Только в этом случае имеет смысл говорить о вероятностных событиях, имея в виду не математические фикции, а реальные характеристики случайных явлений.

Например, выражение «вероятность поражения самолета в воздушном бою для данных условий равна 0,7» имеет определенный конкретный смысл, потому что воздушные бои мыслятся как массовые операции, которые будут неоднократно повторяться в приблизительно аналогичных условиях.

Напротив, выражение «вероятность того, что данная научная проблема решена правильно, равна 0,7» лишено конкретного смысла, и было бы методологически неправильно оценивать правдоподобие научных положений методами теории вероятностей

6.

                                    Алгебра событий.

 Определение 1.1. Суммой А+В двух событий А и В называют событие, состоящее в том, что произошло хотя бы одно из событий А и В. Суммой нескольких событий, соответ-ственно, называется событие, заключающееся в том, что произошло хотя бы одно из этих событий.

Пример 1. Два стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Если событие А – попадание первого стрелка, а событие В – второго, то сумма А+В – это хотя бы одно попадание при двух выстрелах.

Пример 2. Если при броске игральной кости событием А_i  назвать выпадение i очков, то выпадение нечетного числа очков является суммой событий А₁+А₂+А₃.

Назовем все возможные результаты данного опыта его исходами и предположим, что множество этих исходов, при которых происходит событие А (исходов, благоприятных событию А), можно представить в виде некоторой области на плоскости. Тогда множество исходов, при которых произойдет событие А+В, является объединением множеств исходов, благоприятных событиям А или В (рис. 1).

Определение 1.2. Произведением АВ событий А и В называется событие, состоящее в том, что произошло и событие А, и событие В. Аналогично произведением нескольких событийназывается событие, заключающееся в том, что произошли все эти события.

Пример 3. В примере 1 ( два выстрела по мишени) событием АВ будет попадание обоих стрелков.

Пример 4. Если событие А состоит в том, что из колоды карт извлечена карта пиковой масти, а событие В – в том, что из колоды вынута дама, то событием АВ будет извлечение из колоды дамы пик.

Геометрической иллюстрацией множества исходов опыта, благоприятных появлению произведения событий А и В, является пересечение областей, соответствующих исходам, благоприятным А и В.

Определение 1.3. Разностью А\B событий А и В называется событие, состоящее в том, что А произошло, а В – нет.

Пример 5. Вернемся к примеру 1, где А\ В – попадание первого стрелка при промахе второго.

Пример 6. В примере 4 А\В – извлечение из колоды любой карты пиковой масти, кроме дамы. Наоборот, В \А – извлечение дамы любой масти, кроме пик.

Введем еще несколько категорий событий.                                               

Определение 1.4. События А и В называются совместными, если они могут произойти оба в результате одного опыта. В противном случае (то есть если они не могут произойти одновременно) события называются несовместными.

Примеры: совместными событиями являются попадания двух стрелков в примере 1 и появление карты пиковой масти и дамы в примере 4; несовместными – события А₁ – А₆ в примере 2.

Замечание 1. Если изобразить графически области исходов опыта, благоприятных несовместным событиям, то они не будут иметь общих точек.

Замечание 2. Из определения несовместных событий следует, что их произведение является невозможным событием.

Определение 1.5. Говорят, что события А₁, А₂,…,А_п образуют полную группу, если в результате опыта обязательно произойдет хотя бы одно из событий этой группы.

Замечание. В частности, если события, образующие полную группу, попарно несовмест-ны, то в результате опыта произойдет одно и только одно из них. Такие события называютэлементарными событиями.

Пример. В примере 2 события А₁ – А₆ (выпадение одного, двух,…, шести очков при одном броске игральной кости) образуют полную группу несовместных событий.

Определение 1.6. События называются равновозможными, если нет оснований считать, что одно из них является более возможным, чем другое.

Примеры: выпадение любого числа очков при броске игральной кости, появление любой карты при случайном извлечении из колоды, выпадение герба или цифры при броске монеты и т.п.

 

9.  Вероятность наступления хотя бы одного из нескольких попарно независимых событий.

 При решении некоторых задач событие, вероятность которого необходимо найти, приходится представлять в виде суммы нескольких событий. Это представление может быть громоздким. В этом случае имеет смысл воспользоваться вычислением вероятности противоположного события. Рассмотрим пример.

Три станка работают независимо. Вероятность поломки каждого из них соответственно равна 0,1; 0,2; 0,3. Найти вероятность того, что хотя бы один станок выйдет из строя.

Пусть событие- поломка 1-го станка -А; поломка 2-го- В, поломка 3-го- С. Тогда событие D - поломка хотя бы одного (одного или двух, или трех) запишется следующим образом:

     

Вычислять вероятность  по полученному представлению неудобно из-за большого количества вычислений. Составим противоположное событие событию D. Итак , D - исправны все три станка. Это событие представим в виде произведения- А В С.

Применим теорему  о произведении независимых событий, тогда:

Вероятность события D будет равна:

Обобщим результаты задачи в виде теоремы:

 Вероятность появления хотя бы одного из событий А₁, А₂,…,А_n независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий, т.е.

  

10.