Признаки существования предела

Теорема 1. Если числовая последовательность  монотонна и ограничена, то она имеет предел.

Теорема 2. Если в некоторой окрестности точки  (или при достаточно больших значениях ) функция  заключена между двумя функциями  и , имеющими одинаковый предел  при  (или ), то функция  имеет тот же предел .

Пусть при   , .

Это означает, что для любого  найдется такое число , что для всех  и удовлетворяющих условию  будут верны одновременно неравенства:

       (1.1)

или

Т.к. по условию функция  заключена между двумя функциями, т.е.:

, то из неравенств  (1.1) следует, что , т.е.:

.

А это и означает, что

13. Определение предела функции в точке. Основные теоремы о пределах (одну из них доказать).

Предел функции в точке: Пусть функция  задана в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки .

Определение. Число  называется пределом функции  при  стремящемся к  (или в точке ), если для любого, даже сколько угодно малого положительного числа , найдется такое положительное число  (зависящее от ), что для всех , не равных  и удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

Это предел функции обозначается:  или  при .

Если при стремлении  к  переменная  принимает лишь значения, меньшие , или наоборот, лишь значения большие , и при этом функция стремится к некоторому числу , то говорят об односторонних пределах функции  соответственно слева  и справа

1.  Предел константы равен самой этой константе:

с = с.

2.  Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

[ k •  f (х)] = k •   f (х).

3.  Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) пределов этих функций:

[ f (х) ± g (х)] =   f (х) ±  g (x).

4.  Предел произведения функций равен произведению пределов этих функций:

[ f (х) • g (х)] =   f (х) •   g (x).

5.  Предел отношения двух функций равен отношению пределов этих функций, если только предел делителя не равен нулю:

14. Бесконечно малые величины (определение). Свойства бесконечно малых (одно из них доказать). Бесконечно большие величины, их связь с бесконечно малыми.

Бесконечно малая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.

Бесконечно большая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.

Свойства бесконечно малых

• Сумма конечного числа бесконечно малых — бесконечно малая.

• Произведение бесконечно малых — бесконечно малая.

• Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную — бесконечно малая. Как следствие, произведение бесконечно малой на константу — бесконечно малая.

• Если a_n — бесконечно малая последовательность, сохраняющая знак, то — бесконечно большая последовательность.

Связь бесконечно больших и бесконечно малых величин устанавливает следующая теорема.

        Теорема 2.16   Пусть  -- функция, бесконечно большая при базе . Тогда величина  -- бесконечно малая при базе .

        Доказательство.     Для начала заметим, что на всех достаточно далёких окончаниях базы будет , так что функция определена на этих окончаниях. Далее, пусть взято некоторое . Положим и выберем такое окончание , что при из этого окончания. Тогда при таких , что и означает, что .     

        Замечание 2.9   Утверждение, обратное к доказанной теореме, вообще говоря, неверно: если  -- бесконечно малая при базе , то функция не всегда является бесконечно большой при базе , хотя бы потому, что может быть не определена ни на каком окончании базы . Простейший пример -- это постоянная величина , которая, очевидно, бесконечно мала при любой базе ( ), но не имеет смысла ни при каких . Однако если сделать дополнительное предположение, что при всех из некоторого окончания базы , то обратное утверждение становится верным.