- •Вопросы для самопроверки по дисциплине «Математика (Модуль 1)»
- •Чётность
- •Уравнение пучка прямых Уравнение прямой в отрезках
- •Общее уравнение прямой и его исследование
- •Предел числовой последовательности
- •Предел функции в бесконечности и в точке
- •Признаки существования предела
- •Свойства бесконечно малых
- •15.Второй замечательный предел, число е. Понятие о натуральных логарифмах.
- •16. Непрерывность функции в точке и на промежутке. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Точки разрыва. Примеры.
- •17. Производная и ее геометрический смысл. Уравнение касательной к плоской кривой в заданной точке.
- •18. Дифференцируемость функций одной переменной. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции (доказать теорему).
- •19. Основные правила дифференцирования функций одной переменной (одно из этих правил доказать).
- •20. Формулы производных основных элементарных функций (одну из формул вывести). Производная сложной функции.
- •21. Теоремы Ролля и Лагранжа (без доказательства). Геометрическая интерпретация этих теорем.
- •26. Общая схема исследования функций и построения их графиков. Пример.
- •29. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Инвариантность формы дифференциала 1-го порядка.
- •30. Понятие первообразной функции. Неопределенный интеграл и его свойства (одно из свойств доказать).
- •31. Метод замены переменной в неопределенном интеграле и особенности применения этого метода при вычислении определенного интеграла.
- •32. Метод интегрирования по частям для случаев неопределенного и определенного интегралов (вывести формулу). Примеры.
- •33. Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Свойства определенного интеграла.
- •34. Теорема о производной определенного интеграла по переменному верхнему пределу. Формула Ньютона–Лейбница.
- •34. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Интеграл Пуассона (без доказательства).
- •35. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла. Примеры.
15.Второй замечательный предел, число е. Понятие о натуральных логарифмах.
Определение. Числом (вторым замечательным пределом) называется предел числовой последовательности :
, где
Прямым вычислением можно убедиться, что , (иррациональное число, число Эйлера).
Если рассмотреть функцию , то при функция имеет предел, равный числу :
.
Или если , то .
Непосредственное вычисление этого предела приводит к неопределенности . Однако доказано, что он равен числу . Второй замечательный предел необходимо всегда использовать при раскрытии неопределенности вида .
Число (число Эйлера, неперово число) играет важную роль в математическом анализе. График функции
Рассмотрим примеры вычисления пределов. Получил название экспоненты. Широко используются логарифмы по основанию , называемые натуральными. Натуральные логарифмы обозначаются символом .
Пример. .
16. Непрерывность функции в точке и на промежутке. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Точки разрыва. Примеры.
Функция f(x) называется непрерывной в точке х = а, если она определена в некоторой двусторонней окрестности этой точки, включая и саму эту точку.
Функция называется непрерывной на промежутке, если она непрерывна во всех точках этого промежутка.
Точки разрыва и их типы Определение 2. Точка х = а называется точкой устранимого разрыва, если в этой точке функция имеет равные между собой конечные пределы, но сама в этой точке либо принимает другое значение, либо вообще не определена. Определение 3. Точка х = а называется точкой разрыва первого рода, если в этой точке функция имеет конечные, но различные односторонние пределы. При этом разность
f(a + 0) - f(a - 0)
называется скачком функции в точке х = а. Определение 4. Точка х = а называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен . Теорема 1. Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х = а, то функции f(x) ± g(x), f(x) • g(x), , где g(a) 0 также непрерывны в этой точке. Теорема 2. Если функция f(x) непрерывна в точке х = а, а функция g(y) непрерывна в точке у = b, b = f(a), то сложная функция g(f(x)) непрерывна в точке х = а. Теорема 3. Все элементарные функции непрерывны во всех точках, где они определены.
17. Производная и ее геометрический смысл. Уравнение касательной к плоской кривой в заданной точке.
Производная - основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции.
Если существует предел отношения дельта y к дельта x приращения функции дельта y к вызвавшему его приращению аргумента дельта x, когда дельта x стремиться к нулю, то этот предел называется производной функции y = f(x) в данной точке х и обозначается y' или f'(x)
Производной функции f(x) (f'(x0)) в точке x0 называется число, к которому стремится разностное отношение , стремящемся к нулю.
Геометрический смысл производной. Производная в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y=f(x) в этой точке
Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x0 :
Если, плоская кривая задана функцией f(x), то уравнение касательной будет: y=f '(x1)x+C, где С зависит от точки касания х1.