Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
sam_modul1_271011.doc
Скачиваний:
32
Добавлен:
28.04.2019
Размер:
807.42 Кб
Скачать

15.Второй замечательный предел, число е. Понятие о натуральных логарифмах.

Определение. Числом  (вторым замечательным пределом) называется предел числовой последовательности   :

,       где  

Прямым вычислением можно убедиться, что ,  (иррациональное число, число Эйлера).

Если рассмотреть функцию , то при  функция имеет предел, равный числу :

.

Или если   ,   то                .

Непосредственное вычисление этого предела приводит к неопределенности . Однако доказано, что он равен числу . Второй замечательный предел необходимо всегда использовать при раскрытии неопределенности вида .

Число  (число Эйлера, неперово число) играет важную роль в математическом анализе. График функции

Рассмотрим примеры вычисления пределов. Получил название экспоненты. Широко используются логарифмы по основанию , называемые натуральными. Натуральные логарифмы обозначаются символом .

Пример. .

16. Непрерывность функции в точке и на промежутке. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Точки разрыва. Примеры.

Функция f(x) называется непрерывной в точке х = а, если она определена в некоторой двусторонней окрестности этой точки, включая и саму эту точку.

Функция называется непрерывной на промежутке, если она непрерывна во всех точках этого промежутка.

Точки разрыва и их типы Определение 2. Точка х = а называется точкой устранимого разрыва, если в этой точке функция имеет равные между собой конечные пределы, но сама в этой точке либо принимает другое значение, либо вообще не определена. Определение 3. Точка х = а называется точкой разрыва первого рода, если в этой точке функция имеет конечные, но различные односторонние пределы. При этом разность

f(a + 0) - f(a - 0)

называется скачком функции в точке х = а. Определение 4. Точка х = а называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен . Теорема 1. Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х = а, то функции f(x) ± g(x), f(x) • g(x), , где g(a) 0 также непрерывны в этой точке. Теорема 2. Если функция f(x) непрерывна в точке х = а, а функция g(y) непрерывна в точке у = b, b = f(a), то сложная функция g(f(x)) непрерывна в точке х = а. Теорема 3. Все элементарные функции непрерывны во всех точках, где они определены.

17. Производная и ее геометрический смысл. Уравнение касательной к плоской кривой в заданной точке.

Производная - основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции.

Если существует предел отношения дельта y к дельта x приращения функции дельта y к вызвавшему его приращению аргумента дельта x, когда дельта x стремиться к нулю, то этот предел называется производной функции y = f(x) в данной точке х и обозначается y' или f'(x)

Производной функции f(x) (f'(x0)) в точке x0  называется число, к которому стремится разностное отношение , стремящемся к нулю.

Геометрический смысл производной. Производная в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции  y=f(x) в этой точке

Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x0 :

Если, плоская кривая задана функцией f(x), то уравнение касательной будет: y=f '(x1)x+C, где С зависит от точки касания х1.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]