- •Вопросы для самопроверки по дисциплине «Математика (Модуль 1)»
- •Чётность
- •Уравнение пучка прямых Уравнение прямой в отрезках
- •Общее уравнение прямой и его исследование
- •Предел числовой последовательности
- •Предел функции в бесконечности и в точке
- •Признаки существования предела
- •Свойства бесконечно малых
Вопросы для самопроверки по дисциплине «Математика (Модуль 1)»
1. Понятие матрицы. Виды матриц. Транспонирование матрицы. Равенство матриц. Алгебраические операции над матрицами: умножение на число, сложение, умножение матриц.
2. Определители 2, 3 и n-го порядков (определения и их свойства). Теорема Лапласа о разложении определителя по элементам строки или столбца.
3. Квадратная матрица и ее определитель. Особенная и неособенная квадратные матрицы. Присоединенная матрица. Матрица, обратная данной, и алгоритм ее вычисления.
4. Система п линейных уравнений с п переменными (общий вид). Матричная форма записи такой системы. Решение системы (определение). Совместные и несовместные, определенные и неопределенные системы линейных уравнений.
5. Решение системы n линейных уравнений с п переменными методом Гаусса.
6. Решение систем п линейных уравнений с п переменными с помощью обратной матрицы (вывод формулы Х=А –1В).
7. Теорема и формулы Крамера решения системы п линейных уравнений с п переменными (без вывода).
8. Понятие функции, способы задания функций. Область определения. Четные и нечетные, ограниченные, монотонные функции. Примеры.
функция это «закон», по которому каждому элементу одного множества (называемому областью определения) ставится в соответствие некоторый элемент другого множества (называемого областью значений).
Математическое понятие функции выражает интуитивное представление о том, как одна величина полностью определяет значение другой величины. Так значение переменной x однозначно определяет значение выражения x2, а значение месяца однозначно определяет Функция — математическое понятие, отражающее связь между элементами множеств. Можно сказать, что значение следующего за ним месяца, также любому человеку можно сопоставить другого человека — его отца. Аналогично, некоторый задуманный заранее алгоритм по варьируемым входным данным выдаёт определённые выходные данные.
Часто под термином «функция» понимается числовая функция; то есть функция которая ставит одни числа в соответствие другим. Эти функции удобно представляются на рисунках в виде графиков.
Способы задания:Явный( аналитический, описательный),Графический,Табличный
Область определения функции — множество, на котором задаётся функция
Чётность
Основная статья: Нечётные и чётные функции
Функция называется нечётной, если справедливо равенство
Функция f называется чётной, если справедливо равенство
1.Ограниченность функции.
Функция f(x) называется ограниченной на данном промежутке (a,b), если существуют некоторые числа m и M такие, что
m ≤ f(x) ≤ M
при хє(a,b).
Число mo= inf {f(x)} [x є (a,b)] = max m называется нижней гранью функции ,
а число Mo= sup {f(x)} [x є (a,b)]=min M называется верхней гранью функции на данном промежутке (a,b).
Разность Mo- mo называется колебанием функции на промежутке (a,b).
Моното́нная фу́нкция — это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательное, либо всегда неположительное. Если в дополнение приращение не равно нулю, то функция называется стро́го моното́нной. Монотонная функция — это функция, меняющаяся в одном и том же направлении.
Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
9. Понятие элементарной функции. Основные элементарные функции и их графики (постоянная, степенная, показательная, логарифмическая).
Элементарные функции — функции, которые можно получить с помощью конечного числа арифметических действий и композиций из следующих основных элементарных функций:
алгебраические:
степенная;
рациональная.
трансцендентные:
показательная и логарифмическая;
тригонометрические и обратные тригонометрические.
Каждую элементарную функцию можно задать формулой, то есть набором конечного числа символов, соответствующих используемым операциям. Все элементарные функции непрерывны на своей области определения.
Иногда к основным элементарным функциям относят также гиперболические и обратные гиперболические функции, хотя они могут быть выражены через перечисленные выше основные элементарные функции.
Постоянная функция.
Постоянной называется функция, заданная формулой у = b, где b - некоторое число.
Графиком постоянной функции у = b является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0; b) на оси ординат. На рисунке изображены графики нескольких постоянных функций. В частности, графиком функции y = 0 является ось абсцисс.
Если b = 0, то получаем прямую пропорциональность у = kх.
Степенной функцией с вещественным показателем a называется функция y = x n , x > 0.
Заметим, что для натуральных n степенная функция определена на всей числовой оси. Для произвольных вещественных n это невозможно, поэтому степенная функция с вещественным показателем определена только для положительных x .
Показательная функция — математическая функция , где a называется «основанием», а x — «показателем» степени.
В вещественном случае основание степени — некоторое неотрицательное вещественное (действительное) число, а аргументом функции является вещественный показатель степени.
В теории комплексных функций рассматривается более общий случай, когда аргументом и показателем степени может быть произвольное комплексное число.
В самом общем виде — uv, введена Лейбницем в 1695 г.
Особо выделяется случай, когда в качестве основания степени выступает число e. Такая функция называется экспонентой (вещественной или комплексной).
Функция y = loga х (где а > 0, а $$\ne$$1) называется логарифмической.
Построение графиков. График логарифмической функции logaх можно построить, воспользовавшись тем, что функция logaх обратна показательной функции y = ax. Поэтому достаточно построить график функции y = ax, а затем отобразить его симметртрично относительно прямой у = х.
Свойства функции у = logaх , a > 1:
|
Свойства функции у = logaх , 0 < a < 1 :
|
Свойства функции у = ln х :
|
|
10. Уравнение линии на плоскости. Точка пересечения двух линий. Основные виды уравнений прямой на плоскости (одно из них вывести).
Определение. Уравнением линии (кривой) на плоскости называется уравнение, к оторому удовлетворяют координаты и каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.
Если точка передвигается по линии, то ее координаты, изменяясь, удовлетворяют уравнению этой линии. Поэтому координаты называются текущими координатами.
Любую линию в принципе можно выразить соответствующим уравнением. Однако не всякое уравнение на определяет на плоскости некоторую линию. Например: определяет только одну точку (0;0); не определяет никакого множества точек, т.к. левая часть уравнения не может равняться нулю. Чтобы убедится, лежит ли точка на данной линии , надо проверить, удовлетворяют ли координаты этой точки уравнению .
Уравнения линии могут быть самыми различными, однако надо отметить, что не каждое уравнение имеет геометрический образ в виде линии.
Взаимное расположение двух линий
Чтобы определить взаимное расположение 2-х линий, необходимо знать уравнений этих линий. Если система этих уравнений совместна, то линии имеют общие точки. В противном случае общих точек нет. Число общих точек равно числу решений системы уравнений
Например, прямая линия и окружность имеют 2 общие точки, так как система из этих уравнений имеет два решения:
.
Уравнение прямой на плоскости
В декартовой системе координат рассмотрим прямую , расположенную под углом к оси (рис. 3.7).
|
Выберем на прямой L произвольную точку . Из найдем тангенс угла наклона прямой: . Введем угловой коэффициент прямой . Из последнего равенства (3.1) |
Полученное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.
Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в данном направлении
|
Пусть прямая образует с осью угол и проходит через точку . Т.к. , то ее координаты удовлетворяют уравнению (3.1), т.е. . (3.2) Вычитая из (3.1) уравнение (3.2), получим . (3.3)
Полученное уравнение называется уравнением прямой по точке и угловому коэффициенту . |
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки
|
Пусть известны две точки, принадлежащие , . Запишем уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту : . (3.4) Т.к. точка также принадлежит , то ее координаты будут удовлетворять данное равенство: . |
Из последнего равенства . Подставляя выражение для в уравнение (3.4): , получим уравнение прямой по двум точкам
(3.5).