- •Вопросы для самопроверки по дисциплине «Математика (Модуль 1)»
- •Чётность
- •Уравнение пучка прямых Уравнение прямой в отрезках
- •Общее уравнение прямой и его исследование
- •Предел числовой последовательности
- •Предел функции в бесконечности и в точке
- •Признаки существования предела
- •Свойства бесконечно малых
- •15.Второй замечательный предел, число е. Понятие о натуральных логарифмах.
- •16. Непрерывность функции в точке и на промежутке. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Точки разрыва. Примеры.
- •17. Производная и ее геометрический смысл. Уравнение касательной к плоской кривой в заданной точке.
- •18. Дифференцируемость функций одной переменной. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции (доказать теорему).
- •19. Основные правила дифференцирования функций одной переменной (одно из этих правил доказать).
- •20. Формулы производных основных элементарных функций (одну из формул вывести). Производная сложной функции.
- •21. Теоремы Ролля и Лагранжа (без доказательства). Геометрическая интерпретация этих теорем.
- •26. Общая схема исследования функций и построения их графиков. Пример.
- •29. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Инвариантность формы дифференциала 1-го порядка.
- •30. Понятие первообразной функции. Неопределенный интеграл и его свойства (одно из свойств доказать).
- •31. Метод замены переменной в неопределенном интеграле и особенности применения этого метода при вычислении определенного интеграла.
- •32. Метод интегрирования по частям для случаев неопределенного и определенного интегралов (вывести формулу). Примеры.
- •33. Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Свойства определенного интеграла.
- •34. Теорема о производной определенного интеграла по переменному верхнему пределу. Формула Ньютона–Лейбница.
- •34. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Интеграл Пуассона (без доказательства).
- •35. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла. Примеры.
Уравнение пучка прямых Уравнение прямой в отрезках
11. Общее уравнение прямой на плоскости, его исследование. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
Общее уравнение прямой и его исследование
Рассмотрим уравнение прямой с угловым коэффициентом . Перенесем все слагаемые в левую часть и перепишем его в следующем виде:
,
- (3.6)
общее уравнение прямой, где и не равны нулю одновременно, т.е. .
Рассмотрим частные случаи уравнения (3.6).
1) Если , т.е. уравнение (3.6) не содержит , то оно представляет прямую, параллельную оси (рис. 3.9):
.
Если - уравнение оси .
2) Если (уравнение не содержит ), тогда прямая параллельна оси (рис.3.10):
.
Если - уравнение оси .
3) Если , тогда уравнение имеет вид и прямая проходит через начало координат (рис. 3.8).
Точка пересечения прямых
Если заданы две прямые и , то координаты точки их пересечения должны удовлетворять уравнению каждой прямой, т.е. они могут быть найдены из системы: .
Если прямые не параллельны, т.е. , то решение системы дает единственную точку пересечения прямых.
12. Предел последовательности при и предел функции при . Признаки существования предела (с доказательством теоремы о пределе промежуточной функции).
Предел числовой последовательности
Определение. Если по некоторому закону каждому натуральному числу поставлено в соответствие вполне определенное число , то говорят, что задана числовая последовательность :
.
Другими словами, числовая последовательность - это функция натурального аргумента: .
Числа называются членами последовательности, а число - общим или -м членом данной последовательности.
Примеры числовых последовательностей:
1) (монотонная, неограниченная),
2) (не монотонная, ограниченная)
3)
Рассмотрим числовую последовательность , изобразив ее точками на числовой оси (рис.4.1):
Видно, что члены последовательности с ростом как угодно близко приближаются к 0. При этом абсолютная величина разности становится все меньше и меньше.
Определение. Число называется пределом числовой последовательности , если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такой (зависящий от ), что для всех членов последовательности с номерами верно неравенство:
.
Обозначают: . Или при .
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.
Предел функции в бесконечности и в точке
Предел функции в бесконечности: С понятием предела числовой последовательности тесно связано понятие предела функции в бесконечности. Если в первом случае переменная возрастая, принимает лишь целые значения, то во втором случае переменная , изменяясь, принимает любые значения.
Определение. Число называется пределом функции при стремящемся к бесконечности, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такое положительное число (зависящее от ), что для всех таких что , верно неравенство:
.
Это предел функции обозначается: или при .
Можно сформулировать понятие предела при стремлении к бесконечности определенного знака, т.е. при и при . В первом случае основное неравенство: должно выполнятся для всех таких, что , а во втором – для всех таких, что .