26. Общая схема исследования функций и построения их графиков. Пример.

1. область определения. Точки разрыва.

2. если есть точки разрыва, то находим ВА

3. исследуем поведение функций при x→∞, т.е. находим ГА

4. y’. y’=0, схема знаков производных между критическими точками, устанавливаем точки экстремума

5. точки пересечения гр.функций с осями 0х и 0у

6. исследование на четность/нечетность функции

Исследовать и построить график

у = е ^2х-х2

1. d (у)= (-∞ж+∞)

2. е ^{2х - х2}= е^-х2 = е^-∞=0 d =0- ГА

3. у’= (е ^{2х - х2})’= е ^{2х - х2}*(2-2х)

у ’ =0

2-2х=0

х=1

второй вариант 1) Область определения ф-ии, 2) исследовать на четность, нечетность, 3) найти асимптоты графика, 4)Исследовать ф-цию на возрастание и убывание и найти экстремумы. 5) Найти точки пересечения с осями координат. 6) Построить график ф-ции.

Пример: у= х²/(1-х²). 1) 1-х²≠0, х≠ + -1, (-∞;-1)V(-1;1)V(1;+∞). 2) четная- симметрична относительно ОУ. 3) асимптоты : -вертикальные: х= -1 lim_x→-1-ox²/(1-х²)= -∞;

lim_x→-1+ox²/(1-х²)=+∞. Х=1 lim_x→1-ox²/(1-х²)= +∞; lim_x→1+ox²/(1-х²)= -∞; х=1; х= -1-вертикальные асимптоты. Наклонные: y=kx+b; k=lim_x→+-∞ f(х)/х= lim_x→+-∞(х²(1-х²)х) =[∞∕∞]= lim_x→+-∞(х/х²(1/х²-1)=0; k=0; b= lim_x→∞[f(x)-kx]= lim_x→∞[х²/(1-х²)]=[∞/∞]= 2х/(-2)х= -1 b= -1; y= -1 –горизонтальная асимптота. 4) у^/=х²/(1-х²)=(2х²(1-х²)+х²(2х))/(1-х²)²=2х/(1-х²)². у^/=0, у^/- не сущ. 2х=0, х=0 , 1-х²=0, х= +-1. min(0;0), 5) ОХ у=0, х=0; ОУ х=0 у=0.

27. Функции нескольких переменных. Примеры. Частные производные (определение). Экстремум функции нескольких переменных и его необходимые условия.

Опр. Пусть имеется n переменных величин, и каждому набору их значений из некоторого множества Х соответствует дно вполне определенное значение переменной величины z. Тогда говорят, что задана фун-я нескольких переменных z=f(x₁, …, x_n).

Пример: Фун-я z=a₁x₁ + a₂x₂ +…+ a_nx_n + b, где a, b – постоянные числа, наз-ся линейной.

Опр. Частной производной фун-и нескольких переменных по одной из этих переменных наз-ся предел отношения соответствующего частного приращения фун-и к приращению рассматриваемой независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует).

Опр. Точка M (x₀, y₀) наз-ся точкой максимума (минимума) фун-и z=f(x,y), если сущ-ет окрестность точки Mб такая, что для всех точек (x,y) из этой окрестности выполняется неравенство f (x₀, y₀) ≥ f(x, y), (f (x₀, y₀) ≤ f(x, y)).

Теорема. Пусть точка (х₀,y₀) – есть точка экстремума диф-мой фун-и z=f(x, y). Тогда, частные производные f’_x(x₀, y₀) и f’_y(x₀, y₀) в этой точке равны нулю.

Точки, в которых выполнены необходимые условия экстремума z=f(x, y), т.е. частные производные z’_x и z’_y равны нулю, называются критическими или стационарными.

28. Понятие об эмпирических формулах и методе наименьших квадратов. Подбор параметров линейной функции (вывод системы нормальных уравнений).

Метод наименьших квадратов.

Дана экспериментальная зависимость

x	x1	x2	….	xn
y	y1	y2	….	yn

n-экспериментальных точек

Суть метода наименьших квадратов

1. По виду экспериментальной зависимости выбираем аналитическую функцию (лин, кв, экспонентную и т.д.) y=f(x)

Формулы, служащие для аналитического представления опытных данных, получили название эмпирических формул.

2. Подбираем параметры, выбранной аналитической зависимости, так чтобы сумма квадратов отклонения теоретических значений функции от опытных значений была минимальной для всех экспериментальных точек.

(y₁-f(x₁))²+(y₂-f(x₂))²+(y_n-f(x_n))²→min

Пусть в качестве функции y=f(x) взята линейная функция y=ax+b и задача сводится к отысканию таких значений параметров a и b, при которых функция

S = ∑(ax_i+b-y_i)² принимает наименьшее значение

ⁱ⁼¹

заметим, что функция S=S(a,b)есть функция 2 ух переменных a и b, а x_i ;y_{i –} постоянные числа, найденные экспериментально.

Т.о. для нахождения прямой решим систему

S’a=0

S’b=0

Или

∑2(ax_i+b-y_i) x_i=0

∑2(ax_i+b-y_i) ₌₀

После алгебраических преобразований эта система принимает вид

(∑x_i²)a+(∑x_i)b= ∑x_i y_i

(∑x_i)a+ nb=∑ y_i (1)

Система называется системой нормальных уравнений

Эта система имеет единственное решение т.к. ее определитель

=׀А׀ ∑ x_i²∑x_{i =} n∑ x_i² -(∑x_i)² ≠0

∑x_i n

Найдем частные производные (1)

S”aa=2∑ x_i²=A

S”ab=2∑ x_i=B

ЫЭии=2т=С

Выражение ∆=ФИ-С² = 4 (т∑ ч_ш²-∑ ч_ш)²Ю0