16

Вариант 12.

1. Обработка выборки №1

Таблица 1. Выборка для задания 1.

X	-2,25	-2,00	-1,75	-1,50	-1,25	-1,00	-0,75	-0,50	-0,25	0,00
Y	-23,45	-17,27	-14,53	-10,58	-9,03	-6,39	-6,44	-4,76	-4,86	-3,69
X	0,25	0,50	0,75	1,00	1,25	1,50	1,75	2,00	2,25	2,50
Y	-3,91	-2,66	-2,62	-1,89	-1,43	1,21	1,25	5,24	6,91	11,22

Вычислим числовые характеристики выборки:

Поле корреляции представлено на рисунке:

Вычислим числовые характеристики методом произведений:

	yi	-19,01	-10,4	-1,7	7
xi	x\y	-23,45;-14,75	-14,75;-6,05	-6,05;2,65	2,65;11,35
-1,65	-2,25;-1,05	3	2	0	0	5
-0,45	-1,05;0,15	0	2	3	0	5
0,75	0,15;1,35	0	0	5	0	5
0,95	1,35;2,55	0	0	2	3	5
		2	4	10	3	20

Предположим, что X и Y связаны функциональными зависимостями вида:

1)

2)

Определим параметры зависимости вида (1):

1	-2,250	5,063	-11,391	25,629	-57,665	129,746	-23,450	52,763	-118,716	267,110
2	-2,000	4,000	-8,000	16,000	-32,000	64,000	-17,270	34,540	-69,080	138,160
3	-1,750	3,063	-5,359	9,379	-16,413	28,723	-14,530	25,428	-44,498	77,871
4	-1,500	2,250	-3,375	5,063	-7,594	11,391	-10,580	15,870	-23,805	35,708
5	-1,250	1,563	-1,953	2,441	-3,052	3,815	-9,030	11,288	-14,109	17,638
6	-1,000	1,000	-1,000	1,000	-1,000	1,000	-6,390	6,390	-6,390	6,390
7	-0,750	0,563	-0,422	0,316	-0,237	0,178	-6,440	4,830	-3,623	2,717
8	-0,500	0,250	-0,125	0,063	-0,031	0,016	-4,760	2,380	-1,190	0,595
9	-0,250	0,063	-0,016	0,004	-0,001	0,000	-4,860	1,215	-0,304	0,076
10	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	-3,690	0,000	0,00	0,00
11	0,250	0,063	0,016	0,004	0,001	0,000	-3,910	-0,978	-0,244	-0,061
12	0,500	0,250	0,125	0,063	0,031	0,016	-2,660	-1,330	-0,665	-0,3325
13	0,750	0,563	0,422	0,316	0,237	0,178	-2,620	-1,965	-1,474	-1,105
14	1,000	1,000	1,000	1,000	1,000	1,000	-1,890	-1,890	-1,890	-1,890
15	1,250	1,563	1,953	2,441	3,052	3,815	-1,430	-1,788	-2,234	-2,793
16	1,500	2,250	3,375	5,063	7,594	11,391	1,210	1,815	2,723	4,084
17	1,750	3,063	5,359	9,379	16,413	28,723	1,250	2,188	3,828	6,699
18	2,000	4,000	8,000	16,000	32,000	64,000	5,240	10,480	20,960	41,920
19	2,250	5,063	11,391	25,629	57,665	129,746	6,910	15,548	34,982	78,709
20	2,500	6,250	15,625	39,063	97,656	244,141	11,220	28,050	70,125	175,313
∑	2,500	41,875	15,625	158,852	97,656	721,877	-87,680	204,833	-155,604	846,807

Система для определения параметров зависимости вида (1):

В результате решения системы, получаем:

Таким образом, функциональная зависимость (1) имеет вид:

Определим параметры зависимости вида (2). Полагаем Z=1,3∙x³:

1	-2,250	-14,808	219,271	-20,56	304,445
2	-2,000	-10,400	108,160	-15,73	163,59
3	-1,750	-6,967	48,542	-12,83	89,389
4	-1,500	-4,388	19,250	-9,25	40,584
5	-1,250	-2,539	6,447	-8,51	21,607
6	-1,000	-1,300	1,690	-5,42	7,046
7	-0,750	-0,548	0,301	-6,38	3,499
8	-0,500	-0,163	0,026	-3,81	0,619
9	-0,250	-0,020	0,000	-5,08	0,103
10	0,000	0,000	0,000	-3,74	0
11	0,250	0,020	0,000	-4,51	-0,091
12	0,500	0,163	0,026	-3,25	-0,528
13	0,750	0,548	0,301	-4,01	-2,199
14	1,000	1,300	1,690	-3	-3,9
15	1,250	2,539	6,447	-3,66	-9,293
16	1,500	4,388	19,250	-1,22	-5,353
17	1,750	6,967	48,542	-0,93	-6,480
18	2,000	10,400	108,160	1,98	20,592
19	2,250	14,808	219,271	4,23	62,637
20	2,500	20,313	412,598	7,84	159,25
∑	2,500	20,313	1219,973	-97,84	845,524

Система для определения параметров зависимости вида (2):

В результате решения системы, получаем:

Таким образом, функциональная зависимость (2) имеет вид:

Графики зависимостей двух видов вместе с точками выборки представлены на рисунке 2:

Рисунок 2. Поле корреляции с графиками зависимостей

Определим, какая из функций лучше аппроксимирует выборку.

1	-2,250	-22,718	-20,855	-20,56	4,658	0,087
2	-2,000	-18,054	-16,342	-15,73	5,401	0,374
3	-1,750	-14,254	-12,826	-12,83	2,027	0
4	-1,500	-11,222	-10,185	-9,25	3,887	0,874
5	-1,250	-8,861	-8,292	-8,51	0,123	0,048
6	-1,000	-7,077	-7,023	-5,42	2,746	2,570
7	-0,750	-5,772	-6,254	-6,38	0,369	0,016
8	-0,500	-4,851	-5,858	-3,81	1,084	4,196
9	-0,250	-4,218	-5,713	-5,08	0,743	0,400
10	0,000	-3,776	-5,692	-3,74	0,001	3,810
11	0,250	-3,429	-5,671	-4,51	1,168	1,348
12	0,500	-3,082	-5,526	-3,25	0,028	5,178
13	0,750	-2,638	-5,130	-4,01	1,882	1,255
14	1,000	-2,001	-4,361	-3	0,998	1,852
15	1,250	-1,075	-3,092	-3,66	6,682	0,323
16	1,500	0,236	-1,199	-1,22	2,120	0
17	1,750	2,028	1,442	-0,93	8,752	5,628
18	2,000	4,398	4,958	1,98	5,847	8,866
19	2,250	7,441	9,471	4,23	10,310	27,470
20	2,500	11,253	15,108	7,84	11,651	52,824
∑	---	---	---	---	70,480	117,121

Так как, невязка зависимости вида (1) меньше, следовательно, эта функция аппроксимирует выборку лучше.

2. Обработка выборки №2

Таблица 2 – Выборка для задания №2

Y \ X	18,5	19,5	20,5	21,5	22,5	23,5	24,5
28,5	2	3	4	7	7	0	0
29,5	4	6	2	0	0	7	4
30,5	2	0	0	3	3	3	1
31,5	0	4	7	6	3	3	0
32,5	1	2	1	3	0	0	1
33,5	4	1	0	0	2	5	0
34,5	0	0	2	3	2	6	6

2.1. Числовые характеристики выборки

Так как выборка является равноотстоящей по Х и по Y, то Представим выборку расширенным вариационным рядом первого типа:

		-3	-2	-1	0	1	2	3
	Y \ X	18,5	19,5	20,5	21,5	22,5	23,5	24,5
-3	28,5	2	3	4	7	7	0	0	23
-2	29,5	4	6	2	0	0	7	4	23
-1	30,5	2	0	0	3	3	3	1	12
0	31,5	0	4	7	6	3	3	0	23
1	32,5	1	2	1	3	0	0	1	8
2	33,5	4	1	0	0	2	5	0	12
3	34,5	0	0	2	3	2	6	6	19
		13	16	16	22	17	24	12	120

Определим числовые характеристики выборки:

	18,5	13	-3	28,5	23	-3	-39	117	-69	207
	19,5	16	-2	29,5	23	-2	-32	64	-46	92
	20,5	16	-1	30,5	12	-1	-16	16	-12	12
	21,5	22	0	31,5	23	0	0	0	0	0
	22,5	17	1	32,5	8	1	17	17	8	8
	23,5	24	2	33,5	12	2	48	96	24	48
	24,5	12	3	34,5	19	3	36	108	57	171
∑	–	–			–	–	14	418	-38	538

;

;

, ;

, ;

;

.

2.2. Уравнения прямых регрессии

;

.

2.3. Доверительные интервалы числовых характеристик выборки

1. Доверительный интервал :

;

;

;

;

.

2) Доверительный интервал :

;

;

.

3) Доверительные интервалы и :

;

;

;

;

.

4) Доверительные интервалы и :

;

;

;

.

Проверим гипотезу о равенстве нулю коэффициента корреляции.

;

, следовательно, гипотеза не верна.

Найдем доверительный интервал :

;

;

;

.

2.4. Построение гистограмм распределения составляющих и .

Запишем вариационные ряды второго рода для каждой составляющей:

	(18; 19)	(19; 20)	(20; 21)	(21; 22)	(22; 23)	(23; 24)	(24; 25)
	13	16	16	22	17	24	12
	(28; 29)	(29; 30)	(30; 31)	(31; 32)	(32;33)	(33; 34)	(34; 35)
	23	23	12	23	8	12	19

Построим гистограммы распределения:

Признак :

Признак :

2.5 Проверка гипотез о видах распределений составляющих

2.5.1 Предположим, что . Определим параметры распределения: , . Таким образом .

Составим функцию распределения :

Проверим гипотезу о виде распределения составляющей :

	18		0
		13		16,8	0,860
	19		0,14
		16		16,8	0,038
	20		0,29
		16		16,8	0,038
	21		0,43
		22		16,8	1,610
	22		0,57
		17		16,8	0,002
	23		0,71
		24		16,8	3,086
	24		0,86
		12		16,8	1,371
	25		1
∑		120	---	---	7,023

Таким образом, , следовательно, гипотезу о виде распределения X можно принять с надежностью .