34. Теорема о производной определенного интеграла по переменному верхнему пределу. Формула Ньютона–Лейбница.

Теорема. Производная интеграла от непрерывной функции по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции при значении верхнего предела.

Φ(x)= ^x⌠f(x)dx = ^x⌠f(t)dt

^{a a}

Φ’(x ) =f(x)

Док-во Φ’(x )=lim ∆φ/∆x= lim φ(x+∆x)- φ(x)/ ∆x= lim ^x+∆x ∫_а f(t)dt-^x⌠_а f(t)dt/ ∆x = lim ^x⌠ f(t)dt+

+ ^x+∆x ⌠f(t)dt- ^x⌠ f(t)dt/∆x = lim (x+∆x-x)*f(ξ)/ ∆x = lim f(ξ)= f(x)

^{a a}

Т.о. Φ(x)- это первообразная для f(x). Две первообразные для одной функции отличаются на константу..

^x⌠ f(t)dt = F(x)+C

^a

Формула Ньютона-Лейбница.

Определенный интеграл в пределах от a и b от непрерывной функции равен приращению любой ее первообразной на отрезке [a;b].

^b⌠f(x)dx = F(b)-F(a)

^a

1.при x=a ^a⌠f(t)dt=F(a)+C

^a

F(a)+C→C= -F(a)

2.x=b

^b⌠f(t)dt=F(b)-F(a)

^a

34. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Интеграл Пуассона (без доказательства).

Опр. Несобственным интегралом ^+∞∫_а f(x) dx от фун-и f(x) на полуинтервале [a;+∞] наз-ся предел фун-и Ф(t) при t, стремящимся к +∞.

^+∞∫_-∞ e^-x2/2 dx – несобственный интеграл Эйлера-Пуассона.

35. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла. Примеры.

1. Пусть фун-я y=f(x) неотрицательна и непрерывна на отрезке [a,b]. Тогда по геометрич.смыслу определ.интеграла площадь S под кривой y=f(x) на [a,b] численно равна опред.интегралу, т.е. S = ^b∫_a f(x)dx. 2. Пусть фун-я y=f(x) неположительна и непрерывна на [a,b]. Тогда S = ^b∫_a (-f(x)) dx, т.е. S = - ^b∫_a f(x)dx. 3. Пусть на отрезке задана непрерывная фун-я общего вида. Тогда, S=S₁+S₂+S₃, т.е. равна алгебраич.сумме соответствующих опред.интегралов: S = ^c∫_a f(x)dx - ^d∫_c f(x)dx + ^b∫_d f(x)dx. 4. Тео-ма. Пусть на отрезке заданы непрерывные фун-и y=f₁(x) и y=f₂(x) такие, что f₂(x)> f₁(x). Тогда площадь S фигуры, заключенной между кривыми y=f₂(x) и y=f₁(x), на отрезке вычисляется по формуле: S = ^b∫_a (f₂(x) – f₁(x)) dx. При-р: Найти пло-дь фиг-ры, огранич.линиями y=x²-2, y=x.(рис.11.18).Реш-е: система: y=x²-2 и y=x => (-1;-1) и (2;2). На отр-ке [-1,2] x>x²-2. f₂(x)=x, f₁(x)=x²-2. S=²∫_-1 (x-(x²-2)) dx = x²/2 ²|_-1 – x³/3 ²|_-1 +2x ²|_-1 =1/2(4-(-1)²) – 1/3(2³-(-1)³) +2(2-1)) = 4,5 (ед.²).