2.2.2 Правила вывода
Вывод заключения из множества посылок записывается так же, как в исчислении высказываний
F1;F2;Fn B, где слева от знака “” записывают множество формул посылок и необходимые аксиомы F1;F2;Fn, а справа – формулу заключения B. Тогда знак “” означает “верно, что B выводима из F1;F2;Fn.
Отношение логического вывода эквивалентно теореме
F1;F2;FnB.
Д
ругая
форма записи : F1;
F2;Fn
B,
где над чертой записывают множество посылок и аксиом F1;F2;Fn, а под чертой заключение B.
Для организации вывода заключения из множества посылок используют правила подстановки и правила заключения.
2.2.2.1 Правила подстановки
Если в формулу F(х), содержащей свободную переменную x, выполнить всюду подстановку вместо x терма t , то получим формулу F(t).
Этот факт записывают так:
xtF(x)
F(t).
Подстановка некоторого терма t в формулу F(x) вместо ее свободной переменной x состоит в замещении всех свободных вхождений этой переменной данным термом t. Такая подстановка называется правильной. Подстановка будет неправильной если в результате подстановки сколемовской функции свободная переменная окажется в области действия квантора.
Например,
1. x1x2x3( P21(x1, x3) P2 (x2))
x3( P21(x2, x3) P2 (x2)).
Это правильная подстановка, т.к. x1 –свободная переменная.
2
. x1f(x2,
t)
x3(
P21(x1,
x3)
P2
(x2))
x3( P21(f(x2, t), x3) P2 (x2)).
Это - правильная подстановка, т.к. x1 –свободная переменная.
3. x3x2x3(
P21(x1,
x3)
P2
(x2))
x3( P21(x1, x2) P2 (x2)).
Э
то
- неправильная подстановка, т.к. x3
–связанная
квантором .
4. x2x3x3(
P1(x1,
x3)
P2
(x2))
x3( P1(x1, x3) P2 (x3)).
Это - неправильная подстановка, т.к. предикат P2 (x3) попадает в область действия квантора .
Понятие правильной подстановки необходимо, например, для формулировки законов снятия квантора общности
x F(x)
F(t)
и введения квантора существования
F(t)
xF(x).
2.2.2.2 Правила введения и удаления кванторов
Наиболее распространенными правилами являются:
1) Введение квантора общности: “если F1(t) F2(x) выводимая формула и F1(t) не содержит свободной переменной x , то F1(t) x(F2(x)) также выводима”, т.е.
(F1(t)
F2(x))
(F1(t) x(F2(x))).
2) Удаление квантора общности: "если x(F(x)) выводимая формула, то вместо x можно выполнить подстановку терма t, свободного от x , и получить также выводимую формулу F (t), т.е.
x(F(x))
. F (t).
3) Введение квантора существования: "если терм t входит в предикат F(t) , то существует, по крайней мере одна предметная переменная x , удовлетворяющая требованиям x(F(x)) ”, т.е.
F(t)
x(F(x)).
4) Смена квантора:
x(F(x)) x(F(x))
x(F(x)); x(F(x)).
5) Перенос квантора, если терм t не содержит переменной x:
a
)
x(F1(x))
F2(t)
x(F1(x) F2(t));
b
)
x(F1(x))F2(t)
x(F1(x) F2(t);
c ) F1(t) x(F2(x))
x(F1(t)F2(x));
d)
x(P(x))F(t)
x(P(x)F(t));
e)
x(P(x))F(t)
x(P(x)F(t)).
6) Введение новой переменной:
a
)
x(F1(x))x(F2(x))
yx(F1(y) F2(x));
b
)
x(F1(x))x(
F2(x))
yx(F1(y) F2(x)).