2.2.1 Интерпретация формул

Под интерпретацией следует понимать систему, состоящую из не­пустого множества V, называемом универсумом, и однозначного отображения на двухэлементное множество {и; л}, кото­рое каждому предикатному символу Pⁿ (t₁; t₂; t_n ) ставит в соот­ветствие n - местное отношение на множестве V, каждому функциональному символу f ⁿ_i (t₁; t₂; t_n ) - n-местную операцию на множестве V, каждой предметной постоянной - элемент множе­ства V.

При заданной интерпретации предметные переменные рассматриваются как переменные, пробегающие область универсума V, а символам логических и кванторных операций придается их обычный смысл.

Например, если универсум задан множеством целых чисел, то для _x _y _z (P² (+(x, y); z)):= “существуют числа x, y, z, для которых z больше суммы чисел х и у", то при х=2, у=3, z=10 имеем двухместную операцию =5 и двухместное отношение между целым числом 10 и значением операции +(2,3)=5. Отображение P²(5;10) на двухэлементное множество дает значение “и”. При х=2, у=3, z=4 имеем +(2,3)=5 и P² (5; 4)=л.

На рис. 10 приведена графическая интерпретация этой задачи.

P² (5; 4)

Рис.10 Интерпретация _x _y _z (P² (+(x, y); z)) для x=2, y=3, z=10 или z=4.

Другими словами, интерпретация функциональных символов опре­деляется по значениям функции на универсуме, заданном на множестве термов, входящих аргументами в эту функ­цию, а интерпретация предикатных символов по отображению на двухэлементное множество {и; л}.

Особо следует рассмотреть влияние свободных переменных на интерпретацию формул исчисления предикатов.

Формула, не содержащая свободных переменных, называется замк­нутой и представляет собой высказывание об элементах, функциях и отношениях, которое принимает значение и или л. На рис. 10 рассмотрен случай замкнутой формулы.

Формула, содержащая свободные переменные, называется открытой и представляет собой отношений, заданное на множестве V,

Это отношение может быть истинным для одних значений из области интепретации и ложным для других.

При такой интерпретации выделяют три класса формул, тождест­венно истинные, тождественно ложные и выполнимые.

Тождественно истинные формулы (или тавтологии) -это особый класс формул исчисления предикатов, которые принимают значение “истины” для всех интерпретаций входящих в нее предметных постоянных, функциональных и предикатных символов; эти формулы иг­рают роль законов и аксиом исчисления предикатов; любые подстановки и замещения в тождественно истинной формуле не изменяют ее значения.

Например,

для предиката P²(x, y):=”число x меньше числа y” формула _x_y(P²(x, y)):=”для любого целого числа x найдется число y, большее числа x” является тождественно истинной;

для любой F(x) формула _x(F(x))_x(F(x)):=“формула ”существуют x, для которых F(x)=и”, эквивалентна формуле “не для всех x F(x)=л”” является тождественно истинной.

Тождественно ложные формулы (или противоречие)-это особый класс формул исчисления предикатов, которые принимают значение “ложь” для всех интерпретаций входящих в нее предметных постоянных, функциональных и предикатных символов; любые подстановки и замещения в тождественно ложной формуле не изменяют ее значения.

Например, для предиката P²(x, y):=”число x меньше числа y” формула _x_y(P²(x, y)):=”существует целое число x, которое меньше любого целого числа y” является тождественно ложной;

для любой F(x) формула _x(F(x))_x(F(x)):=”“существует x, для которой F(x)=и”, и “для всех x F(x)=л ”” является тождественно ложной.

Выполнимые формулы - это особый класс формул исчисления преди­катов, которые принимают значение “истина”в некоторой области, т.е. не для всех интерпретаций входящих в нее предметных постоянных, функциональных и предикатных символов.

Например, формула _x(F(x))_x(F(x)) является истинной для одного элемента множества V и ложной для всех элементов этого множества, т.к.

_x(F(x))_x(F(x)):=” если существует x, для которого F(x)=и, то не для всех х универсума F(x)=и” .