2.1.2 Правила записи сложных формул
Рассмотренные логические операции позволяют формализовать с помощью термов, предикатов и кванторов внутреннюю структуру предложения и формировать сложные суждения.
Пример: Суждение “Некоторые действительные числа являются рациональными”.
В этом суждении есть два предиката P1(x):=”быть действительным числом” и P2(x):=”быть рациональным числом”. Формула сложного суждения должна быть записана так:
F=x(P1(x)P2(x)).
Ошибочной является формула F=x(P1(x)P2(x)):=”некоторые числа, если они являются действительными, то они рациональные, т.к. замена безкванторной части на эквивалентную дает F=x(P1(x)P2(x)):=”некоторые числа не являются действительными или являются рациональными”.
Пример: Суждение “Все рациональные числа действительные”.
Формула сложного суждения должна быть записана так:
F=x(P1(x)P2(x)).
Ошибочной является формула F=x(P1(x)P2(x)):=”все числа являются и действительными и рациональными”.
Пример: Суждение “Ни один человек не является четвероногим. Все женщины – люди. Следовательно, не одна женщина не является четвероногой”[15].
В этом суждении три одноместных предиката P1(x):”быть индивидом”, P2(x):=”быть женщиной” и P3(x):=”быть четвероногим”.
Формула сложного суждения должна быть записана так:
x(P1(x)
P3(x));
x(P2(x)P1(x))
x(P2(x) P3(x)).
Пример: Суждение “Некоторые республиканцы любят всех демократов. Ни один республиканец не любит ни одного социалиста. Следовательно, ни один один демократ не является социалистом”[13].
В этом суждении три одноместных предиката P1(x):=”быть республиканцем”, P2(x):=”быть демократом”, P3(x):=”быть социалистом” и один двухместный предикат P24(x; y):=”x любит y”.
Формула сложного суждения должна быть записана так:
x
(P1(x)y(P2(y)P24(x;
y))); x(P1(x)y(P3(y)P24(x;
y)))
x(P2(x)P3(x)).
Пример: Суждение “Ни один торговец наркотиками не является наркоманом. Некоторые наркоманы привлекались к ответственности. Следовательно, некоторые люди, привлекавшиеся к ответственности, не являются торговцами наркотиков”.
В этом суждении три одноместных предиката P1(x):=”быть торговцем наркотиков”, P2(x):=”быть наркоманом”, P3(x):=”привлекаться к ответственности ”.
Формула сложного суждения должна быть записана так:
x(P1(x)P2(x));
x(P2(x)
P3(y))
x(P3(x)P1(x)).
Пример: Суждение “Саша – мальчик, у которого нет машины. Таня –девочка, которая любит мальчиков, имеющих машины. Следовательно, Таня не любит Сашу”.
В этом суждении два одноместных предиката
P1(x):=”быть мальчиком”, P2(x):=”быть девочкой”, и два двухместных P3(x; y):=”x любит y”, P4(x; y):=”x имеет y” три высказывания P1(a):=”Саша – мальчик”, P2(b):=”Таня - девочка” и P4(a; c):=”Саша не имеет машины (с)”.
Формула сложного суждения должна быть записана так:
P1(a);
P2(b);
P4(a;
c);
x(P2(x)y(P1(y)
P4(y;
c)
P3(x;
y))
P2(b)P3(b; a)).
Приведенные примеры позволяют сформулировать некоторые правила записи сложных суждений.
1) каждое вхождение логической связки “” относится к формуле, следующей непосредственно за логической связкой справа;
2) каждое вхождение логической связки “” после расстановки скобок связывает формулы, непосредственно окружающие логическую связку;
3) каждое вхождение логической связки “” после расстановки скобок связывает формулы, непосредственно окружающие эту связку.
4)Логические связки по силе и значимости могут быть упорядочены так:
; ; ; ; .
5) за квантором общности чаще всего следует логическая связка импликации, а за квантором существования - конъюнкции;
6) если формула содержит подформулу, то внутренняя формула не должна содержать кванторов, связывающих ту же переменную, что и квантор формулы;
7) значения всех предметных переменных и постоянных должны принадлежать одной области определения предиката или функции;
если в одной формуле есть кванторы общности и существования, то при формализации суждений следует стремиться поставить квантор существования слева всей формулы.