§11 Формальная производная многочлена

В курсе математического анализа f(x) как функция действительной переменной имеет производную для любого и производная является многочленом степень которого на единицу меньше f(x). Так производная понимается как конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента. Производную в алгебре определить так нельзя так как в абстрактном поле P над которым рассматривается многочлен в общем случае понятие придела лишено смысла. Например вопле вычетов понятие приращения аргумента не имеет смысла, по этому производную в алгебре понимают формально. Производной многочлена f(x) ∈P[x] называют многочлен коофициенты которого являются кратными кофицеентам многочлена f(x). Производная многочлена 0 степени и нулевого многочлена принимается равной 0. Будем предполагать что, поле P имеет нулевую характеристику тогда для нахождения производных остаются справедливы правела дифференцирования рассмотренные в математическом анализе.

В случае конечной характеристики поля P указанные правила дифференцирования могут нарушатся.

Аналогично 1 производной можно определить 2 и другие формальные производные.

§12 Не приводимые кратные множители многочлена.

О1) Не приводимый над полем P называется множитель кратности k≥1 многочлена f(x) если в каноническом разложении многочлен p(x) содержится в k степени.

Т: если неприводимый над полем P нулевой характеристики, многочлен p(x) в каноническом разложении f(x) над P входит в k степени, то в каноническое разложение формальной производной он входит в k-1 степени.

Доказательство:

Теорема будет доказана если мы покажем что, (1) не делится на p(x). Второе слагаемое делится на p(x) а, первое слагаемое не делится на p(x) так как g(x)p(x) взаимно просты, . P(x) не приводим, значит значит p(x) не нулевой таким образом в каноническом разложении входит в k-1 степени.

■

Замечание: Если не приводимый многочлен над полем P нулевой характеристики в каноническом разложении кольца P[x] содержится в первой степени то в каноническое разложение производной он не входит.

Доказательство:

Значит в каноническое разложение p(x) войти не может.

■

Замечание: Чтобы многочлен f(x) не имел кратных множителей над полем P необходимо и достаточно чтобы f(x) и f`(x) были взаимно простыми.

Доказательство:

⟹ Пусть многочлен f(x) не содержит в каноническом разложении кратных множителей тогда по следствию (1) эти множители в каноническом разложении производной f`(x) отсутствуют то есть f(x) и f`(x) не имеют общих делителей кроме единице (f(x),f`(x))=1

⟸ Пусть (f(x),f`(x))=1. Рассуждая с помощью метода от противного, приходим к противоречию.

■

§ 13 Кратные корни многочлена

О) Элемент называется корнем k-ой кратности для многочлена если но не делится .

Пример 1:

x=2 - корень 2 кратности.

Т1: Чтобы элемент был корнем k-ой кратности необходимо и достаточно, что бы выполнялось условие (1)

Доказательство:

⟹ Пусть корень k-ой кратности для многочлена тогда по определению будим иметь то есть где , учитывая, что в разложении f(x) он входит в k степени то в его производную он войдет в k-1 степени:

где причем . Аналогично по теореме предыдущего параграфа не приводимый множитель войдет в k-2 степени.

, где причем действуя так далее находим причем

не , т.е. .

⟸ Пусть выполнены требования 1 то есть корень многочлена f(x) пусть кратность этого корня равна и она отличается от k:

1) <k  -1<k-1  учитывая, что ≤k-1 (по доказанной первой части теоремы полученные соотношения противоречивы.

2) >k по первой части доказанной теоремы получится:

получили противоречивые соотношения таким образом .

■