- •Л1 02.09.09 Алгебра многочленов
- •§1: Многочлены как функции действительной переменной
- •§2 Алгебраическое определение кольца многочленов
- •§3 Кольцо многочленов над областью целостности
- •§4 Деление с остатком многочлена на двучлен (X- )
- •§5 Наибольшее возможное число корней в области целостности.
- •§6 Деление с остатком
- •§ 7 Наибольший общий делитель многочленов. Алгоритм Евклида.
- •§ 8 Наименьшее общее кратное двух многочленов.
- •§9 Многочлены не приводимые над полем
- •§10 Разложение многочлена в произведении нормированных не приводимых множителей
- •§11 Формальная производная многочлена
- •§12 Не приводимые кратные множители многочлена.
- •§ 13 Кратные корни многочлена
- •§14 Разложение многочлена по степеням двучлена
- •§15 Кольцо многочленов от n переменных
- •§16 Степень многочлена. Лексикографическое упорядочение членов многочлена.
- •§17 Разложение многочлена от n переменных в произведение не приводимых множителей
- •§18 Cсимметрические многочлены
- •§ 19 Основная теорема о симметрических многочленах.
- •§20 (Дополнение к теме нод). Результант 2 многочленов
- •§21 Многочлены над полем комплексных чисел
- •§ 22 Зависимость между корнями. Теорема Виета.
- •§23 Свойства мнимых корней многочлена с действительными коэффициентами
- •§24 Разложение многочлена над полем действительных чисел в произведение не приводимых множителей
- •§25 Решение кубических уравнений
- •§27 Решение уравнений 4 степени(Феррари)
- •§28 Теорема Штурма(отделение действительных корней многочлена)
- •§29 Отыскание рациональных корней многочлена
- •30 Т(Критерий не приводимости Эйзенштейна):
- •31 Простое алгебраическое расширение как линейное пространство.
- •32 Избавление от иррациональности
§28 Теорема Штурма(отделение действительных корней многочлена)
Пусть дан многочлен n степени с действительными коэффициентами (1)
По основной теореме алгебры многочлен имеет ровно n корней если многочлен имеет комплексные корни то они встречаются парами как комплексные сопряжённые. Комплексных корней всегда четное число, по этому число действительных корней с учетом кратности либо равно степени многочлена либо на четное число меньше, в частности любой многочлен не четной степени имеет худобы 1 действительный корень.
Представляет интерес определения точного числа действительных корней многочлена а также промежутков их принадлежности. Можно показать, что все действительные корни многочлена принадлежат интервалу
Ответить на вопрос сколько многочлен имеет действительных корней в заданном интервале позволяет теорема штурма, в которой используются функции штурма.
Для построения ряда штурма выполняют следующую процедуру: находят производную многочлена как функции f(x) это будет некоторый многочлен с действительными коэффициентами. Для многочленов f(x) и f`(x) выполняют алгоритм похожий на алгоритм Евклида:
Если данный многочлен не имеет кратных корней то в этом случае то последний остаток является многочленом нулевой степени то есть числом. Последовательность многочленов: называется ряд функций штурма. В дальнейшем нас будут интерисовать знаки тех значений которые принимают функции ряда штурма по этому функции образующее последовательность (2) можно находить с точностью до постоянного положительного множителя.
Т(Штурма): Если a,b и не являются корнями многочлена f(x)не имеющего кратных корней то число действительных корней этого многочлена принадлежащих интервалу (a,b), где s(x) количество перемен знаков в ряде функций штурма соответственно в точках a,b.
§29 Отыскание рациональных корней многочлена
Т1: Если рациональное число является корнем многочлена f(x) то свободный член делится на p а старший коэффициент делится на q.
Доказательство:
по условию. Обе части этого выражения умножим на
/…СБ4/
2 часть доказательства
Левая часть делится на q .
Если старший член равен 1 (нормированный) то все рациональные корни этого многочлена являются целыми числами причем делителями свободного член
, , , cследовательно корень целый.
Т2: Если рациональное число где p,q взаимно простые является
корнем многочлена f(x) то для любого целого числа k:
применима теорему о делении
Доказательство:
Если предположить, что (
Получаем, что наша дробь сократима, что противоречит нашему условию. Мы пришли к тому, что делится не может следовательно
■
Следствие: Если многочлен с целыми коэффициентами нормированный то его рациональными корнями могут быть только такие целые числа для которых при любом
Доказательство:
По Т2
30 Т(Критерий не приводимости Эйзенштейна):
Если в многочлене с целыми коэффициентами f(x) коэффициенты все до старшего делятся на некоторое простое число p и старший коэффициент не делится на p причем , то такой многочлен не приводим над полем рациональных чисел Q.
Доказательство:
Пусть эти требования выполняются но многочлен является приводимым то есть представляется в виде произведения:
пусть
Подставим выражения для в равенство(2).
Выполним почвенное умножение в правой части равенства, приведем подобные слагаемые и воспользуемся определением равных многочленов то есть мы приравняем соответствующие коэффициенты:
По условию теоремы Учитывая, что , то , тогда либо или либо . По условию . Продолжая так и далее получим, что от куда следует, что , что противоречит условию, что и доказывает нашу теорему. Заметим, что рассматривая второй случай также пришли к противоречию. В этом случае было бы получено, что что значит и что противоречит теореме.
■
Замечание: Из теоремы следует существование многочленов сколь угодно большой степени с целыми коэффициентами не приводимыми над полем Q. Например является не приводимым над Q.
Пример 1:
Доказать не приводимость многочленов пользуясь критерием Эйзенштейна:
На полем Q не приводим.
Алгебраические числа.